La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3.

EXPLICACIÓN:

Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el  EJEMPLO 1, donde se explica el Caso por primera vez.

1) Los cuadrados son x² y el 16/9 (¿qué es un "cuadrado"?). Porque x² "es el cuadrado" de x. Y 16/9 "es el cuadrado" de 4/3.

En el caso de una fracción, para que ésta sea cuadrado de algo, el número de arriba (numerador) y el de abajo (denominador) deben ser cuadrados (4, 9, 16, etc.) (¿por qué?). En este caso, tenemos a 16 (que es 4²) y 9 (que es 3²).

El término "8/3 x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que el 8/3 no tiene raíz cuadrada "exacta", y x no es una potencia par. (más explicación sobre esto)


2) "Bajo" entonces las bases, que son "x" y "4/3".


3) Una vez que tengo las bases (x y 4/3), multiplico para calcular el "doble producto" de las bases (¿doble producto?):

2.x. 4/3      ("Dos por x por 4/3")

El resultado es "8/3 x" (¿por qué?).

2.x. 4/3 = 8/3 x

Ahora miro el polinomio y veo que está el término 8/3 x.  (x² + 8/3 x + 16/9).

Es decir, que en ese polinomio, el término que no es cuadrado, es 8/3 x. Coincide con el "doble producto" de las bases. Esto tiene que ser así para que se pueda factorizar con este Caso.
Acabo de verificar que el polinomio que me dieron es un Trinomio Cuadrado Perfecto, porque cumple con lo que tiene que tener un Trinomio Cuadrado Perfecto: "dos cuadrados", y "el doble producto de las bases".


4) El resultado de la factorización es entonces:

(x + 4/3)² 

Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Cómo reconozco que una fracción es un "cuadrado"?  (¿qué es un "cuadrado"?)

Para que una fracción sea cuadrado de algo, el número de arriba (numerador) y el de abajo (denominador) deben ser cuadrados (4, 9, 16, 25, 36, etc.), o lo que es lo mismo: tener raíz cuadrada exacta (en racionales).
Veamos en un ejemplo cómo se eleva una fracción a cierta potencia:

(5/3)² es igual a 5²/3², o sea 25/9   (¿por qué?)

Para elevar a una fracción "hay que elevar el de arriba y el de abajo". El resultado está formado por dos cuadrados: el de arriba es cuadrado y el de abajo es cuadrado. Porque vinieron de elevar al cuadrado a cada número.
Otros ejemplos:

(2/7)² es igual a 4/49
(1/4)² es igual a 1/16
(3/4)² es igual a 9/16
etc.

Se puede ver que en todos los resultados, numeradores y denominadores son cuadrados. Entonces, reconozco que una fracción es "cuadrado" de otra, cuando sus dos números son "cuadrados". Y eso viene de la forma en que se calculan las potencias de una fracción:

(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ


¿Cómo se calculan las potencias de una fracción?

Usemos el concepto de potencia para calcular (concepto de potencia):

(2/5)³ = 2/5 . 2/5 . 2/5 = 2.2.2 / 5.5.5 = 2³ / 5³ = 8/5

Vemos cómo, al efectuar la multiplicación de fracciones (¿cómo se multiplican las fracciones?), terminamos multiplicando al numerador 2, tres veces por si mismo. Y al denominador 5, tres veces por sí mismo. Pero eso equivale a elevar al 2 a la tercera, y al 5 también. De esa manera se deduce la Propiedad Distributiva entre un cociente y la potencia, que esa que ya enuncié en el punto anterior:

(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Usando esta propiedad, ya no es necesario hacer las multiplicaciones, que no serían prácticas en el caso de una potencia grande. Por ejemplo:

(2/3)⁶ = 2⁶ / 3⁶ = 64 / 729


¿Cómo se multiplican las fracciones?

"El de arriba con el de arriba y el de abajo con el de abajo". Es decir, se multiplican los numeradores, y el resultado es el numerador de la fracción; y se multiplican los denominadores, y el resultado es el denominador de la fracción. Por ejemplo:

5/3 . 2/7 = 5.2 / 3.7 = 10 / 21

3/4 . 1/2 . 5/2 = 15 / 16


Verificación de la factorización:

Comprobemos ahora si es verdad que x² +  8/3 x  +  16/9 es igual a (x + 4/3)²

Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio:   (Cuadrado de un binomio)

(x + 4/3)² = x² +  2. x. 4/3  +  (4/3)² = x² +  8/3 x  +  16/9

Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando en el resultado (x + 4/3)², obtuve el polinomio original (x² +  8/3 x  +  16/9).

O usando el concepto de potencia:

(x + 4/3)² = (x + 4/3).(x + 4/3) = x² + 4/3 x + 4/3 x + 16/9 = x² + 8/3 x + 16/9

(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 3:


x²  +   4/5 x  +   4/25 = (x + 2/5)²

x                       2/5
        2. x. 2/5
          4/5 x


x²  +   5/2 x   +   25/16 = (x + 5/4)²

x                      5/4
       2. x. 5/4
         5/2 x


x²   +   2/7 x   +   1/49 = (x + 1/7)²

x                      1/7
         2. x. 1/7
          2/7 x




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 6 (Con un número multiplicano a la x²)
EJEMPLO 7 (Con potencia para distinta de 2)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9  (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos cuadrados)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz exacta")
EJEMPLO 13 ("Con los cuadrados negativos")

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