TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 6: (Con un número multiplicando a la x²)


9x²  +  30x  +  25 = (3x + 5)²

3x              5
      2.5.3x
       30x

Las bases son 3x y 5, ya que (3x)² dá 9x². En este caso hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).

EXPLICACIÓN:

Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el  EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez. 

1) Los cuadrados son 9x² y el 25 (¿qué es un "cuadrado"?). Porque:

25 es el cuadrado de 5, y 

9x² "es cuadrado" de 3x, ya que (3x)² es igual a 9x² (¿por qué?). 

Podría pensarlo de la siguiente manera: Por el 9, "bajo el 3". Y por la x², "bajo la x". En total "bajo 3x".

Por otro lado, el término "30x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que 30 no es cuadrado de ningún número racional (no tiene raíz cuadrada "exacta") (¿por qué digo "racional"?), y el exponente de "x" no es un número par (x es x¹, y el 1 es un número impar). (más explicación sobre esto) (los que no son cuadrado)


2) Las bases son entonces 3x y 5


3) Una vez que decidí cuáles son las bases, multiplico para calcular el "doble producto" de las bases (¿doble producto?):

2. 3x. 5      ("Dos por 3x por 5")

El resultado es "30x". Ya que 2.3x.5 es igual a 2.3.5.x., lo que es igual a 30x. (¿por qué?)

2.3x.5 = 30x

"Dió bien". Ya que 30x está en el polinomio que quiero factorizar (9x² + 30x + 25). Verifiqué así que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.


4) El resultado de la factorización es entonces:

(3x + 5)²

Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿En qué se diferencia este ejemplo de los anteriores?

En este ejemplo, uno de los "cuadrados" es una multiplicación de dos o más "cosas" (por ejemplo: 4x², 25x², a²b², 16x²a²). Mientras que en los anteriores ejemplos, los cuadrados eran simplemente una letra o un número (por ejemplo: x², 9, 4, a², 25, etc.).
Para reconocerlos, hay que fijarse en que cada una de las dos o tres cosas que están multiplicándose (factores) sean "cuadrados". Por ejemplo:

4x² puedo decir que es un "cuadrado", porque 4 es "cuadrado" (de 2) y x² también, por supuesto.

25x² es "cuadrado", porque 25 es un "cuadrado" (de 5), y x² también , por supuesto.

a²b² es un "cuadrado", porque a² es cuadrado, y b² también.

En cambio:

2a² no lo tomo como "cuadrado", porque el 2 no es un "cuadrado" (de un número racional) (¿por qué está aclaración?)

16x no puede ser un "cuadrado", porque la x no está elevada al cuadrado (ni a ninguna otra potencia par) (¿por qué tiene que ser una potencia par?)


¿Por qué (3x)² es igual a 9x²?

(3x)² es igual a 3x.3x, por lo que significa elevar a una potencia (¿qué significa?). Y 3x.3x es igual a 9x² (¿por qué?).

También podríamos haberlo hecho usando la Propiedad Distributiva entre la potencia y la multiplicación. Así: (3x)² es igual a 3².x², lo que es igual a 9x².


¿Por qué para que una multiplicación sea cuadrado, los dos factores tienen que ser cuadrados?

Recordemos la Propiedad Distributiva entre la multiplicación y la potencia, que dice que:
(a.b)ⁿ = aⁿ.bⁿ . Por ejemplo:

(5.x)² = 5². x² = 25x²
(3.a²)² = 3². (a²)² = 9x⁴         (Potencia de Potencia)
(4.b³)² = 4² . (b³)² = 16b⁶

Cuando elevamos al cuadrado una multiplicación, tenemos que elevar  al cuadrado a cada factor. Entonces, los dos factores del resultado terminan siendo cuadrados también.

Otra forma de verlo sería usando el concepto de potencia (¿cómo es eso?):

(5.x)² es igual a 5x.5x, lo que es igual a 5.5.x.x (¿por qué?). Como estamos multiplicando al 5 dos veces por sí mismo, lo estamos elevando al cuadrado. Lo mismo con la x. Entonces, estamos obteniendo dos cuadrados en el resultado, que provienen que multiplicar a cada factor por sí mismo.


Multiplicaciones

Decíamos que 5x.5x es igual a 5.5.x.x. Pero ¿y eso por qué?. Primero, 5x.5x es lo mismo que 5.x.5.x, porque aunque no pongamos el signo "por" entre el número y la letra, hay que recordar que ambos están multiplicándose. 5x significa "5 veces x", es decir "5 multiplicado por x", "5 por x", o "5.x" .
Luego, la multiplicación cumple con la Propiedad Conmutativa, ya que "si en una multiplicación cambiamos el orden, el resultado es el mismo". Entonces, puedo decir que 5.x.5.x es igual a 5.5.x.x. Cambié el orden, con permiso de la Propiedad Conmutativa.
También decíamos que 3x.3x es igual a 9x². Y la razón es la misma: 3x.3x es lo mismo que 3.x.3.x, lo que es igual que 3.3.x.x (por la Propiedad Conmutativa), y eso es igual a 9x².


Verificación:

Comprobemos ahora si es verdad que (3x + 5)² es igual a 9x² + 30x + 25:

- Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio:   (Cuadrado de un binomio)

(3x + 5)² = (3x)² +  2.3x.5  +  5² = 9x² + 30x + 25

Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando en el resultado (3x + 5)², obtuve el polinomio original 9x² + 30x + 25.

- O usando el concepto de potencia:

(3x + 5)² = (3x + 5).(3x + 5) = 9x² + 15x + 15x + 25 = 9x² + 30x + 25.

(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 6:


25x²  +  10x  +  1 = (5x + 1)²

5x                   1
         2.5x.1
           10x


16  +  4a²  +  16a  = (4 + 2a)²

4        2a
                  2.4.2a
                   16a


-42x     +    49x²   +  9 = (7x - 3)²

                  7x       -3
2.7x.(-3)
-42x




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 7 (Con potencia par distinta de 2)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9  (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos cuadrados)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz exacta")
EJEMPLO 13 ("Con los cuadrados negativos")

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