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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
/ EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9
EJEMPLO 9: (Con números decimales)
0,09a6 + 1 - 0,6a3 = (0,3a3 - 1)2
0,3a3 (-1)
2.0,3a3.(-1)
-0,6a3
A los números decimales puedo pasarlos a fracción. O sino,
sacarle la raíz cuadrada para saber de qué número son cuadrado. 0,09 es cuadrado
de 0,3.
EXPLICACIÓN:
Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos
relacionados, consultar en el EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez.
Lo voy a hacer de dos maneras: A) Trabajando con los números decimales, y B)
Pasando los números decimales a fracción.
TRABAJANDO CON NÚMEROS DECIMALES:
1) Los cuadrados son
0,09a6 y el 1 (¿qué es un "cuadrado"?).
Porque:
0,09a6 "es cuadrado" de
0,3a3
(¿cómo me doy cuenta?),
ya que (0,3a3)2 es
igual a 0,09x6 (Potencia
de un producto y
Potencia de potencia)
Y a6 "es el cuadrado" de a3
(¿por qué?).
Por otro lado, el término "-0,6a3" nunca podría ser cuadrado de algo,
ya que: es negativo. (los
que no son cuadrado seguro)
2) Las bases son entonces 0,3a3 y
-1
3)
Una vez que decidí cuáles son las bases, multiplico para calcular el "doble
producto" de las bases (¿doble
producto?):
2.0,3a3.(-1)
("Dos por 0,3a3 por -1")
El resultado es "-0,6a3" (¿por qué?)
2.0,3a3.(-1) = -0,6a3
"Dió bien". Ya que -0,6a3
está en el polinomio que quiero
factorizar: 0,09a6 + 1 - 0,6a3.
Verifiqué así que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.
4) El resultado de la factorización es entonces (0,3a3 + (-1))2.
Lo que es igual a:
(0,3a3 -1)2
Es decir, "la
suma de las bases, elevada al cuadrado".
PASANDO LOS NÚMEROS DECIMALES A FRACCIÓN:
0,09 = 9/100 (¿por qué?)
0,6 = 6/10, que simplificado es igual a 3/5 (¿por qué?)
Entonces, reemplazo en el polinomio y este Ejemplo resuelto queda así:
9/100 a6 + 1 - 3/5 a3 = (3/10 a3
- 1)2
3/10 a3 (-1)
2. 3/10 a3.(-1)
-3/5a3
1) Los cuadrados son
9/100 a6 y 1. Porque:
9/100 a6 es cuadrado de 3/10 a3, ya que (3/10 a3)2
es igual a 9/100 a6 (¿cómo
reconozco que una fracción es "cuadrado"?)
(cuadrado de un
producto)
(¿cómo reconozco
que una multiplicación es "cuadrado"?)
Y 1 es cuadrado de 1, y de (-1) también. Ya que (-1)2 también es
igual a 1. Si en este ejemplo tomara como base a 1, el doble producto no daría
negativo. Entonces, debo tomar como base al -1 (Esta situación ya fue explicada
en el Ejemplo 4)
2) Las bases son entonces:
3/10 a3 y
-1
3) Calculo el doble producto de las bases:
2. 3/10 a3.(-1)
(Dos, por 3/10 a3, por -1)
El resultado es -3/5 a3 (¿por qué?).
"Dió bien", ya que -3/5 a3 está en
el polinomio que tenía que factorizar:
9/100 a6 + 1 - 3/5a3
4) El resultado de la factorización es entonces (3/10 a3
+ (-1))2, lo que es igual a (3/10 a3
- 1)2
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
¿Cómo me doy cuenta de que 0,09 es el cuadrado de 0,3?
Hay algunas reglas para calcular las potencias de un número decimal,
relacionándolas con las potencias de números naturales. Pero si no conocen
esas reglas, pueden usar la calculadora. En el caso de un número decimal, el
resultado de la raíz dará con coma, pero será un decimal exacto, es decir con
un número de cifras decimales limitado. Si dá un número con tantas cifras
decimales que llena toda la calculadora, ese número no nos sirve como cuadrado,
porque no tiene raíz cuadrada exacta. Por ejemplo, usemos la calculadora para
averiguar las siguientes raíces cuadradas, y comparemos:
=
0,3
Entonces, 0,09 es el cuadrado de 0,3
=
0,632455532... El 0,4 no nos sirve como cuadrado
Multiplicaciones en el doble producto:
2.0,3a3.(-1) es igual a
2.0,3.(-1).a3, porque en la multiplicación se puede cambiar el orden.
Y
2.0,3.(-1) es igual a -0,6 (calculadora...). Es decir que este doble producto
nos dá -0,6a3.
2. 3/10 a3.(-1) es igual a
2. 3/10 . (-1).a3, porque en la multiplicación se puede cambiar el orden.
Y 2. 3/10 . (-1) es igual a -3/5 (la calculadora lo calcula y simplifica). Es
decir que este doble producto nos dá -3/5 a3.
¿Cómo se hacen los pasajes de decimal exacto a fracción?
Por ejemplo:
0,09 es igual a 9/100
Se pone el 9 en el numerador de la fracción ("arriba"), porque 9 es
el único número que tenemos en este caso (los ceros delante no cuentan). Y se
pone el 100 en el denominador ("abajo"), porque el número decimal
tiene 2 cifras decimales (2 lugares detrás de la coma). El 100 hay que verlo
como "un 1 seguido de dos ceros". Esos 2 ceros son por los dos lugares
decimales.
0,6 es igual a 6/10
Se pone el 6 en el numerador, y 10 en el denominador. Porque 0,6 tiene una sola
cifra detrás de la coma, y el 10 tiene un solo "0".
La regla para pasar de decimal exacto a fracción sería entonces así:
"En el numerador ("arriba") poner todo el número quitándole la
coma. En el denominador ("abajo") poner el 1 seguido de tantos ceros
como lugares decimales tenga el número".
En 0,09, "todo el número" sería 009, pero los ceros delante no
tienen valor, por eso ponemos solamente el 9.
En 0,6 sucede algo parecido: "todo el número" sería 06, pero el 0
delante no tiene valor. Solamente ponemos el 6.
Otros ejemplos para que se vea mejor el uso de la regla:
1,2 es igual a 12/10
"Todo el número (12) en el numerador". Un solo "lugar
decimal", entonces en el denominador va 10, que tiene un solo cero.
4,31 es igual a 431/100
"Todo el número" es 431. Y ponemos 100 en el denominador, porque hay
dos "lugares decimales" (ocupados por el 3 y el 1)
2,057 es igual a 2057/1000
2057 es "todo el número". Y como tiene 3 "lugares
decimales", en el denominador va 1000, que tiene 3 ceros.
0,00002 es igual a 2/100000
0,049 es igual a 49/1000
etc.
¿Cómo se simplifican las fracciones?
6/10 es igual a 3/5
Para simplificar una fracción, primero hay que encontrar un número que divida
tanto al numerador como al denominador (al "de arriba" y al "de
abajo"). En este ejemplo, el 6 y el 10 son números que se pueden dividir
por 2.
Luego, hay que dividir "arriba y abajo" por ese número. En nuestro
ejemplo: 6 dividido 2 dá 3, y 10 dividido 2 dá 5. Por eso 6/10 nos dá 3/5.
Son ambas fracciones "equivalentes", porque representan al mismo
número. Es un número decimal, y se puede averiguar con la calculadora,
dividiendo "6 dividido 10"; o "3 dividido 5". En ambos casos
el resultado es el mismo: 0,6.
Pero a veces, luego de simplificar una vez, encontramos que otra vez se puede
simplificar, por el mismo o por otro número. En ese caso, tenemos que seguir
haciéndolo hasta que no se pueda más. Se dice que "tenemos que llegar a
una fracción irreducible", es decir, simplificar hasta llegar a una
fracción que ya no se pueda simplificar más.
En realidad, nos sucede eso porque en un principio no usamos el número más
grande que divide a los dos. Usamos un número más chico, y resulta que después
hay otro. Por ejemplo:
20/28
En un principio se nos puede ocurrir dividir por 2, y entonces nos queda 10/14.
Y resulta que otra vez se puede dividir por 2, y así llegamos a 5/7. Pero si
desde un principio nos hubiéramos dado cuenta de que 20 y 28 se pueden dividir
por 4, no nos hubiera pasado esto. Podríamos haber dividido por 4, y
llegábamos en un solo paso a 5/7.
Eso es porque el 4 es el mayor número que divide a 20 y 28. Al dividir de
entrada por el mayor número, nos aseguramos que ya no se podrá volver a
dividir por ningún otro. Ese mayor número que divide a ambos, es el conocido
Máximo Común Divisor (MCD) o Divisor Común Máximo (DCM), que para algo nos
lo enseñan, y ésta es una de sus aplicaciones. Si descubrimos o nos tomamos el
trabajo de calcular el Máximo Común Divisor, podemos simplificar totalmente a
la fracción en un solo paso. (¿cómo
se calcula el MCD?)
Verificación:
Comprobemos ahora si es verdad que (0,3a3 -1)2 es igual a
0,09a6 + 1 - 0,6a3:
-
Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio: (Cuadrado de un
binomio)
(0,3a3 -1)2
= (0,3a3)2 + 2.0,3a3.(-1) + (-1)2
= 0,09a6
- 0,6a3 + 1. Que es lo mismo que
0,09a6 + 1 - 0,6a3, con los términos
cambiados de orden.
Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice,
porque, operando en el resultado(0,3a3 -1)2, obtuve el
polinomio original: 0,09a6 + 1 - 0,6a3
-
O usando el concepto de potencia:
(0,3a3 -1)2
= (0,3a3 -1).(0,3a3 -1) = 0,09a6 - 0,3a3
- 0,3a3 + 1 = 0,09a6 - 0,6a3 + 1
(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 9:
x2 + 1,2x + 0,36 = (x + 0,6)2
x
0,6
2.0,6.x
1,2x
1,44 + a2 + 2,4a = (a + 1,2)2
1,2 a
2.1,2.a
2,4a
0,02b + 0,01 + b2 = (0,1 + b)2
0,1
b
2.0,01.b
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 6 (Con un número multiplicando a la x2)
EJEMPLO 7 (Con potencias diferentes a 2)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos
cuadrados)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")
AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz
exacta")
EJEMPLO
13 ("Con los cuadrados negativos")
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