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EXPLICACIÓN:
1) En este ejemplo, como la letra del divisor
está multiplicada por el número 2 (divisor: 2x -
3), voy a multiplicar al divisor por un número que lo haga
"desaparecer" (¿por
qué?),
así luego se puede aplicar
la regla de Ruffini. Ese número es 1/2, que es la
fracción inversa a 2/1. Luego, también tengo que multiplicar por 1/2
al dividendo
(¿por qué hago eso?).
Al nuevo divisor y dividendo los llamo B' y A':
B = 2x - 3
B' = (1/2).(2x - 3) = x - 3/2
(más detalle)
Así logro que el divisor sea de la forma (x - a), donde "no hay ningún
número multiplicando a la x" (el coeficiente
de la x es 1)
A = -9x2 - x + 5x4
A´= (1/2).(-9x2 - x + 5x4) = -9/2
x2 - 1/2 x + 5/2 x4
2) Completo y ordeno (¿qué
es eso?) el dividendo A' :
A' = -9/2
x2 - 1/2 x + 5/2 x4
Así está incompleto, y desordenado
A' = 5/2 x4 + 0x2 - 9/2
x2 - 1/2 x + 0 Así está ordenado y completo
3) Pongo todos los coeficientes de
-A en la fila de arriba. Y el número (término
independiente) del divisor, cambiado de signo, en el rincón izquierdo.
Como el divisor es (x - 3), tengo que poner 3 (el opuesto
de -3):
A' = 5/2 x4 + 0x2
- 9/2
x2 - 1/2 x + 0
B' = x - 3/2
| 5/2
0 -9/2
-1/2 0
|
|
3/2 |
|
4) Bajo el primer coeficiente de la izquierda (el número
"5/2" en este ejemplo).
| 5/2 0
-9/2 -1/2 0
|
|
3/2 |
|
5/2
5) Multiplico la 3/2 por el
5/2, y pongo el
resultado ("15/4") debajo del segundo coeficiente desde la izquierda:
| 5/2
0 -9/2
-1/2 0
|
|
3/2 |
15/4
|
5/2
(3/2).(5/2) =
15/4
6) Sumo la columna donde puse el 15/4, y pongo el resultado debajo:
| 5/2
0 -9/2 -1/2
0
|
|
3/2 |
15/4
|
5/2 15/4
0 + 15/4 = 15/4
7) Multiplico al 3/2 por el 15/4, y
pongo el resultado debajo del tercer
coeficiente:
| 5/2
0 -9/2
-1/2
0
|
|
3/2 |
15/4 45/8
|
5/2 15/4
(3/2).(15/4) =
45/8
8) Sumo la nueva columna, y pongo el resultado debajo:
| 5/2
0 -9/2
-1/2
0
|
|
3/2 |
15/4 45/8
| 5/2
15/4 9/8
-9/2 + 45/8 = 9/8
9) Multiplico el 3/2 por el 9/8, y
pongo el resultado debajo del siguiente
coeficiente:
| 5/2
0 -9/2
-1/2
0
|
|
3/2 |
15/4 45/8 27/16
|
5/2 15/4 9/8
(3/2).(9/8) =
27/16
10) Sumo la nueva columna, y pongo el resultado debajo:
| 5/2
0 -9/2 -1/2 0
|
|
3/2 |
15/4 45/8 27/16
|
5/2 15/4 9/8
19/16
-1/2 + 27/16 = 19/16
11) Multiplico el 3/2 por el
19/16, y pongo el resultado debajo del siguiente
coeficiente:
| 5/2
0 -9/2 -1/2 0
|
|
3/2 |
15/4 45/8
27/16 57/32
|
5/2 15/4 9/8
19/16
(3/2).(19/16) = 57/32
12) Sumo la última columna, y obtengo el resto de la división:
| 5/2
0 -9/2 -1/2
0
|
|
3/2 |
15/4 45/8
27/16 57/32
|
5/2 15/4 9/8
19/16 | 57/32
Antes del último número de la fila inferior se pone una línea vertical para
separar los coeficientes del cociente del resto (el último número es el
resto).
11) RESULTADO DE LA DIVISIÓN:
| 5/2
0 -9/2
-1/2
0
|
|
3/2 |
15/4 45/8 27/16
57/32
|
5/2 15/4
9/8
19/16 | 57/32
Los números de la fila inferior, exceptuando el último número, son
los coeficientes del cociente, ordenados de mayor a menor grado, empezando por
un grado menos que el del dividendo. Para determinar el cociente, agregamos las
indeterminadas empezando por la de grado 3 (x3), un grado menos que el dividendo), ya que el dividendo
A =
-9x2 - x + 5x4 era
de grado 4; y bajando el grado hasta terminar en el término independiente
(grado 0, término sin indeterminada):
Grado del dividendo: 4
Grado del cociente: 4 - 1 = 3
COCIENTE:
5/2 x3 + 15/4 x2
+ 9/8 x + 19/16
Y el resto quedó multiplicado por 1/2, así que hay que dividirlo por 1/2 (¿por
qué?)
R': 57/32 (el resto de dividir A' por B')
R = R' : (1/2) = (57/32):(1/2) = 57/16
RESTO: 57/16
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los Conceptos Generales de este tema están en:
DIVISIÓN
DE POLINOMIOS
¿Por qué en este ejemplo multipliqué al divisor por 1/2?
Para poder aplicar la regla de Ruffini, el divisor debe ser de la forma (x - a),
es decir, un binomio de grado 1 con coeficiente
principal igual a 1 ("no hay ningún número multiplicando la x").
Y en este ejemplo el divisor era (2x - 3), que sí tiene un número
multiplicando a la x, el número 2.
En un caso así, se puede aplicar la regla de Ruffini usando algún artilugio
para que "desaparezca" el número que está multiplicando a la x en el
divisor (en este ejemplo el número 2). Una manera de hacerlo es multiplicar al
divisor por la fracción inversa al coeficiente principal (la fracción
inversa en este caso es 1/2, ya que es la inversa de 2/1, que es igual al
coeficiente 2); y luego multiplicar también al dividendo por ese mismo número.
Porque si se multiplica al divisor y al dividendo por un mismo número, se
obtiene el mismo cociente en la división (justificación
de eso):
(1/2).2 = 1
Así que:
(1/2).(2x - 3) = (1/2).2x - (1/2).3 = 1.x - 3/2 = x - 3/2
Y (x - 3/2) es un binomio de la forma (x - a), así que se puede usar la regla
de Ruffini con ese divisor. Luego también hay que multiplicar al dividendo por
ese número, y dividir el nuevo dividendo por el nuevo divisor para obtener el
mismo cociente (resultado) que se obtendría dividiendo a los polinomios
originales.
¿Por qué se obtiene el mismo el cociente?
En la división de polinomios (y de números enteros), se cumple que:
DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO
Entonces, si A es el dividendo, B el divisor, Q el cociente y R el resto,
tenemos que:
A = B.Q + R
Si multiplico a A por cualquier número k, tenemos que:
k.A = k.(B.Q + R)
Pero eso es igual a:
k.A = k.B.Q + k.R
Y asociando:
k.A = (k.B).Q + k.R
Y en esa expresión tenemos a k.A como dividendo, k.B como divisor, Q como
cociente y k.R como resto. Es decir que (k.A):(k.B) tiene el mismo cociente Q que
tenía A:B, y el resto es igual a k.R (el resto R de dividir a A por B,
multiplicado por k).
El resto es igual a k.R. Entonces, para hallar el valor de R (el resto de la
división de A por B), hay que dividir por k al resto "k.R" (el resto
de dividir a k.A por k.B):
(k.R):k = R
Lo podemos ejemplificar con un ejemplo numérico, porque así podemos hacer las
cuentas y visualizar que las igualdades son verdaderas:
25 |__4__
1 6
/
DIVIDENDO = 25
DIVISOR = 4
COCIENTE = 6
RESTO = 1
DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO
25 = 4.6 + 1
Y si multiplicamos por 2 nos queda que:
2.25 = 2.(4.6 + 1)
2.25 = 2.4.6 + 2.1
50 = 8.6 + 2 (Verdadero, ya que 8.6 + 2
dá 50)
Y en esa expresión tenemos a 50 (50 = 25.2)
como dividendo, el 8 (8 = 4.2)
como divisor, y el cociente el 6. Eso significa que
50 divido 8 dá como resultado 6, y el resto es 2. Es decir, el
cociente de dividir a 50 por 8 es el mismo que el de dividir a 25 por 4. Y 50 es
igual a 25 multiplicado por 2, y 8 es igual a 4 multiplicado por 2.
Y el resto de dividir a 50 por 8 dió 2 (2 multiplicado por 1). Para obtener el
resto de dividir a 25 por 4, hay que dividirlo por 2:
2:2 = 1
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR LA REGLA DE RUFFINI
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
(Dividendo sin término independiente)
EJEMPLO 3 (Dividendo muy incompleto)
EJEMPLO 4 (Dividendo de grado 1)
EJEMPLO 5 (Ruffini con dos letras)
EJEMPLO 6 (Modificación del divisor)
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