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EJEMPLO 3: (Con el dividendo muy incompleto)
A = 2x - x7
B = x + 1
A : B = (2x - x7):(x + 1)
1) Polinomio A ordenado y completo:
-x7 + 0x6 + 0x5
+ 0x4 + 0x3 + 0x2 + 2x + 0
2)
El opuesto del término independiente del polinomio divisor: -1
Cociente: -x6 + x5 - x4 + x3 - x2
+ x + 1
Resto: -1
No hay que olvidarse ningún cero, ya que deben rellenarse
las columnas de todos los grados.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3
EJEMPLO 4: (Caso particular: El dividendo es un polinomio de grado 1)
A = -3x + 5/2
B = x - 4
A : B = (-3x + 5/2):(x - 4)
Polinomio A ordenado y completo: -3x + 5/2
El opuesto del término independiente del polinomio B: -(-4) = 4
Cociente: -3
Resto: -19/2
Como el grado del dividiendo es 1, el grado del cociente
es 0 (un grado menos que el dividendo). Así que el cociente es un "número
solo" (término independiente, término de grado 0).
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4
EJEMPLO 5: (Polinomios con dos letras)
A = x5 + y5
B = x + y
A : B = (x5 + y5):(x + y)
El polinomio A completo y ordenado: x5 + 0x4 + 0x3
+ 0x2 + 0x + y5
El opuesto del término independiente del polinomio B: -y
Cociente: x4 - yx3 + y2x2 - y3x
+ y4
Resto: 0
Divisiones como éstas se presentan en el Sexto caso de
factoreo, y se las puede resolver aplicando la regla de Ruffini, tomando a una
de las letras como la "indeterminada" del polinomio, y a la otra letra
como si fuera un número.
En este ejemplo tomo a la "x" como
indeterminada ("la letra del polinomio"), y a y5 lo tomo
como si fuera un número. Como el término y5 no tiene la
indeterminada "x", cumple el papel del término independiente. Por eso
tengo que completar los grados intermedios entre 5 y 0.
En el divisor, la "y" es el término independiente.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5
EJEMPLO 6: (Modificación del divisor: "Cuando la letra es
negativa")
A = 2x3 - x2 + 5
B = 3 - x
Se divide a -A por -B, porque si la letra de B es negativa, en -B será
positiva. El cociente dá igual que al dividir A:B, y el resto dá el opuesto
(hay que cambiarle el signo):
-A = -(2x3 - x2 + 5) = -2x3
+ x2 - 5
-B = -(3 - x) = (-3 + x) = x - 3
(-A):(-B) = (-2x3
+ x2 - 5):(x - 3)
El polinomio -A completo y ordenado: -2x3 + x2 + 0x - 5
El opuesto del término independiente del polinomio -B: -(-3) = 3
Cociente de A:B = Cociente de (-A):(-B) = -2x2 - 5x - 15
Resto de A:B = -Resto (-A):(-B) = -(-50) = 50
El cociente de A:B es el mismo cociente de (-A):(-B).
Entonces, para que la letra del divisor sea positiva, se puede dividir por -B,
pero a -A. Y el Resto no es igual, sino que es el opuesto del que se obtendría
dividiendo A:B. La justificación de esto se puede ver en los comentarios de la
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6
EJEMPLO 7: (Modificación del divisor: "Cuando hay un número
multiplicando a la letra")
A = -9x2 - x + 5x4
B = 2x - 3
Multiplico a B por 1/2, para que desaparezca el 2 como coeficiente de x:
B´= (1/2).(2x - 3) = x - 3/2
Multiplico también a A por 1/2:
A´= (1/2).(-9x2 - x + 5x4) = -9/2
x2 - 1/2 x + 5/2 x4
El cociente de dividir A´: B´ es el mismo que el dividir A:B. Y para obtener
el resto de A:B, hay que dividir por 1/2 al resto de dividir A´: B´.
El polinomio A´ completo y ordenado: 5/2 x4 + 0x3 - 9/2 x2
- 1/2 x + 0
El opuesto del término independiente del polinomio B´: -(-3/2) = 3/2
Cociente de A:B = Cociente de A´: B´= 5/2 x3 + 15/4 x2
+ 9/8 x + 19/16
Resto de A:B = R´: 1/2 = (57/32):(1/2) = 57/16
Para eliminar el 2 que multiplica a la "x" en el
divisor, multiplico a B por 1/2 (la fracción inversa a 2/1). Y también
multiplico por 1/2 al polinomio A. Porque si multiplico por el mismo número al
dividendo y al divisor, el cociente de la división no cambia. Pero el resto de
la división no es el mismo, sino que quedó multiplicado por 1/2. Así que
luego hay que dividirlo por 1/2 para obtener el resto de A:B (la justificación
de todo esto se dá en la EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO)
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN POR LA REGLA DE RUFFINI
¿Qué es la Regla de Ruffini?
Es una regla para hacer la división entre polinomios, usando solamente los
coeficientes del dividendo
y el término independiente
del
divisor. El divisor debe ser un polinomio de grado 1, con coeficiente
principal igual a 1 y con término independiente distinto de cero, por ejemplo:
(x + 3), (x - 2/3), (x + 1), etc. Se obtienen los coeficientes del
cociente (resultado) de la división, y el resto.
Para aplicar correctamente la regla se deben usar los coeficientes del dividendo
completo y ordenado de mayor a menor grado (¿cómo
se completa y ordena un polinomio?). Y al término independiente del
divisor se le debe cambiar el signo (se usa el opuesto). Por ejemplo:
A = 2x - 4x3 + 5
B = x + 1
A:B =
El dividendo es el polinomio A. Lo completo y ordeno de mayor a menor grado:
-4x3 + 0x2 - 2x +
5
(¿Cómo se
completa y ordena un polinomio?)
Los coeficientes que hay que usar en la Regla de Ruffini son:
-4 0 -2 5
El divisor es el polinomio B: (x + 1). El término independiente es 1. En la
Regla de Ruffini hay que usar el opuesto de 1, que es:
-1
Y se ubican así:
| -4
0 -2 5
|
|
-1 |______________________
En la EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1, y demás explicaciones se puede ver el
procedimiento paso por paso para encontrar el cociente y el resto de la
división.
¿Se puede aplicar la Regla de Ruffini si el divisor tiene coeficiente
principal distinto de 1?
Si el divisor tiene un número multiplicando a la "x" (coeficiente
principal distinto de 1), por ejemplo:
(2x + 5)
Se puede aplicar la regla de Ruffini si se previamente se multiplica al divisor
por un número para quitarle el coeficiente, y al dividendo se lo multiplica por
el mismo número. Luego se dividen los dos nuevos polinomios y el cociente que
se obtiene es el mismo, y al resto al que dividirlo por ese número.
La explicación y justificación de ese procedimiento se puede ver en el EJEMPLO
7.
¿Se puede aplicar la Regla de Ruffini si el divisor tiene la "x"
negativa?
Si la "x" ó la indeterminada del divisor es negativa, por ejemplo en:
(3 - x)
El coeficiente principal es -1, ya que (3 - x) es igual a:
(-1x + 3)
Entonces estamos ante un caso como el que mostré en la pregunta anterior: hay
un número multiplicando a la "x". Por lo tanto se puede usar el mismo
procedimiento que allí comenté: multiplicar al divisor por un número que haga
desaparecer al -1 (que será -1), y al dividendo por ese mismo número. Luego
dividir, y el cociente será el mismo, mientras que al resto hay que dividirlo
por ese número. La explicación de esto se puede ver en el EJEMPLO
6.
"Ruffini con dos letras"
Se puede usar la regla de Ruffini en la división de polinomios con dos
indeterminadas, tomando una de las indeterminadas como número (constante). Por
ejemplo, en la división:
(x7 - y7):(x - y) =
Se puede usar la regla de ruffini si se toma a "x" como la
indeterminada de los polinomios, y a y7 como término independiente
del dividendo, y a "y" como término independiente del divisor.
El dividendo completo y ordenado es:
x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3
+ 0x2 + 0x - y7
Esta división está explicada paso por paso en el EJEMPLO
6 del sexto caso de Factoreo. Y en el EJEMPLO 5 de
esta misma página se puede ver otro ejercicio similar.
¿Cómo determino el resultado de la división luego de aplicar la regla de
Ruffini?
En la fila inferior de la regla de Ruffini se obtienen los coeficientes del
cociente, ordenados de grado mayor a menor, empezando por un grado menos que el
grado del dividendo. El último número de la fila es el resto, así que no
forma parte del cociente, por eso se hace una línea vertical separatoria. Por
ejemplo:
A = 10 x2 - 5 - 3x4 + 2x3 = -3x4 +
2x3 + 10x2 + 0x - 5
B = x + 2
A:B = (-3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5) : (x +
2) =
Allí, los coeficientes del cociente son:
-3 8 -6 12
Como el dividendo (el polinomio A) es de grado 4, el cociente es de grado 3 (un
grado menos que el dividendo). Así que a los coeficientes hay que
agregarles la indeterminada, empezando por grado 3 y disminuyendo el grado hasta
llegar al término independiente (grado 0):
COCIENTE =
-3x3 + 8x2 - 6x + 12
RESTO = -29
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