Multiplicación de polinomios: Ejemplo 2 - Matemática y Listo

Temario \| Todos los Ejemplos \| Operaciones con Polinomios \| Respuestas OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2
	EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos) A = 4x³ - 5x² + 2x + 1 B = 3x - 6 4x³ - 5x² + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo) X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ -24x³ + 30x² - 12x - 6 + 12x⁴ - 15x³ + 6x² + 3x _________________________ 12x⁴ - 39x³ + 36x² - 9x - 6 A x B = 12x⁴ - 39x³ + 36x² - 9x - 6 A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también completos y ordenados, y es más fácil encolumnarlos según su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en la misma columna.
EXPLICACIÓN: (Ver otra forma de multiplicarlos) 1) Ambos polinomios están ordenados de grado mayor a menor (¿cómo se ordena?). Y si no lo estuvieran, sería mejor ordenarlos. Y son polinomios completos (no les falta ningún término de grado intermedio) (Para ver un ejemplo donde los polinomios sean incompletos, consultar en: EJEMPLO 3) Ubico un polinomio sobre otro, como cuando se multiplican "a mano" dos números naturales de varias cifras. 4x³ - 5x² + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo) X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ 2) Empiezo multiplicando al -6 por cada término del polinomio de arriba, empezando por el de la derecha (aunque también se puede hacer al revés, pero así es más usual). Y pongo los resultados debajo de la línea, empezando por la derecha también. Muestro paso por paso todas las multiplicaciones que hago con el -6, y cómo se van ubicando los resultados bajo la línea: a) 4x³ - 5x² + 2x + 1 X 3x - 6 ____________________ - 6 Porque (-6).(+1) = -6 b) 4x³ - 5x² + 2x + 1 X 3x - 6 ____________________ - 12x - 6 Porque (-6).(+2x) = -12x (¿cómo se hacen estas multiplicaciones?) c) 4x³ - 5x² + 2x + 1 X 3x - 6 ____________________ + 30x² - 12x - 6 Porque (-6).(-5x²) = +30x² d) 4x³ - 5x² + 2x + 1 X 3x - 6 ____________________ -24x³ + 30x² - 12x - 6 Porque (-6).(4x³) = -24x³ 3) Ya terminé con el -6. Ahora voy a hacer lo mismo, pero con el 3x. Los resultados van a ir en otra fila, debajo de la que se generó en el paso anterior. Pero dejo un espacio en la derecha, es decir, los empiezo a ubicar en la segunda columna desde la derecha, como se hace cuando se multiplican dos números naturales de varias cifras. De esa forma quedarán encolumnados los términos de igual grado: a) 4x³ - 5x² + 2x + 1 X 3x - 6 ____________________ -24x³ + 30x² - 12x - 6 + 3x Porque 3x.(+1) = +3x Se puede ver que el término es de grado 1 (con x, que es igual a x¹), y quedó ubicado debajo de -12x, que es del mismo grado. Si no hubiera dejado ese lugar a la derecha, no habrían quedado en la misma columna los términos de igual grado. b) 4x³ - 5x² + 2x + 1 X 3x - 6 ____________________ -24x³ + 30x² - 12x - 6 + 6x² + 3x Porque 3x.(+2x) = +6x² c) 4x³ - 5x² + 2x + 1 X 3x - 6 ____________________ -24x³ + 30x² - 12x - 6 - 15x³ + 6x² + 3x Porque 3x.(-5x²) = -15x³ d) 4x³ - 5x² + 2x + 1 X 3x - 6 ____________________ -24x³ + 30x² - 12x - 6 12x⁴ - 15x³ + 6x² + 3x ___________________________ Porque 3x.(4x³) = 12x⁴ 3) Como ya multipliqué los dos términos del segundo polinomio por todos los términos del primer polinomio, no hay más multiplicaciones que hacer. Ahora hay que sumar las dos filas. Es una suma de polinomios, y ya están ordenados, completos y encolumnados según el grado. 4x³ - 5x² + 2x + 1 X 3x - 6 ____________________ -24x³ + 30x² - 12x - 6 + 12x⁴ - 15x³ + 6x² + 3x ___________________________ 12x⁴ - 39x³ + 36x² - 9x - 6 Resultado: 12x⁴ - 39x³ + 36x² - 9x - 6 (¿cómo se hace esa suma? suma de polinomios) CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS Los Conceptos Generales de este tema están en:MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Explicación de las multiplicaciones entre términos que se hicieron en este EJEMPLO 2: Con el -6: (-6).(+1) = -6 (Son dos números, así que se multiplican entre ellos, y "menos por más es igual a menos") (-6).(+2x) = -12x Porque (-6).(+2) es igual a -12, y la "x" no se multiplica por ninguna otra "x", así que queda igual. (más detalle sobre la multiplicación de monomios) (-6).(-5x²) = +30x² Porque (-6).(-5) es igual a +30, y la "x²" no se multiplica por ninguna otra "x", así que queda igual. (-6).(4x³) = -24x³ Porque (-6).4 es igual -24, y la x³ no se multiplica por ninguna otra "x", así que queda igual. Con el 3x: 3x.(+1) = +3x Porque 3.(+1) es igual a +3. Y la "x" no se multiplica por ninguna otra "x", así que queda igual. 3x.(+2x) = +6x² Porque cuando hay letras y números, se multiplica el número por el número y la letra por la letra (ver multiplicación de monomios). Así que: 3.(+2) es igual a +6. Y x.x es igual a x¹.x¹ (ya que x es igual a x¹), y como son potencias de la misma base se suman los exponentes. Entonces: x¹.x¹ = x¹⁺¹ = x² (propiedad de la multiplicación de potencias de igual base) (O en este caso particular se puede pensar también así: "tengo algo multiplicado dos veces por sí mismo, eso es lo mismo que tener a ese algo elevado a la potencia 2") 3x.(-5x²) = -15x³ Porque 3.(-5) es igual a -15. Y x.x² es igual a x¹.x² (ya que x es igual a x1), y como son potencias de la misma base, se suman los exponentes. Así que: x¹.x² = x¹⁺² = x³ 3x.(4x³) = 12x⁴ Porque 3.4 es igual a 12. Y x.x³ es igual a x¹.x³, así que: x¹.x³ = x¹⁺³ = x⁴ Multiplicando en "el mismo renglón": Otra forma de multiplicar dos polinomios es ponerlos entre paréntesis multiplicando y aplicar la Propiedad distributiva entre la multiplicación y la suma. Para este ejercicio sería así: A = 4x³ - 5x² + 2x + 1 B = 3x - 6 (4x³ - 5x² + 2x + 1).(3x - 6) = (4x³).(3x) + (4x³).(-6) + (-5x²).(3x) + (-5x²).(-6) + (+2x).(3x) + (+2x).(-6) + (+1).(3x) + (+1).(-6) = 12x⁴ + (-24x³) + (-15x³) + (+30x²) + (+6x²) + (-12x) + (+3x) + (-6) = 12x⁴ - 24x³ - 15x³ + 30x² + 6x² - 12x + 3x - 6 = 12x⁴ - 39x³ + 36x² - 9x - 6 El segundo y el tercer paso se pueden obviar, si directamente se puede encontrar el resultado de la multiplicación de los términos con el signo correspondiente, y los términos quedan sumando o restando según sea el signo que dió la multiplicación de los términos. Luego, se pueden "juntar" los términos de igual grado, es decir: sumar sus coeficientes, como ya se vió en la suma de polinomios: -24x³ - 15x³ es igual a -39x³. Porque -24 - 15 = -39. Y la letra queda con el mismo grado. +30x² + 6x² = 36x². Porque 30 + 6 = 36. Y la letra queda con el mismo grado. -12x + 3x = -9x. Porque -12 + 3 = -9. Y la letra queda con el mismo grado Algunos ponen directamente los resultados de las multiplicaciones, sin hacer el segundo y tercer paso, pensando que en cada multiplicación de términos se multiplican 3 cosas: los signos, los números y las letras. Es decir, van multiplicando cosa por cosa (signo - número - letra), y poniendo el resultado. Así no hacen el segundo y tercer paso. El proceso sería así: (4x³ - 5x² + 2x + 1).(3x - 6) = 1) Primero multiplico (+4x³) por el primer término (+3x) (son positivos porque en los polinomios no tenían signo), y pienso cosa por cosa: los signos: "más por más, dá más (+)" los números: 4.3 = 12 las letras: x³.x. Se suman los exponentes porque son potencias de igual base. Como x es igual a x1, su exponente es 1. Se suman: 3 + 1 = 4. Así que queda x⁴ Entonces el resultado es 12x⁴. Como es el primer término del polinomio y dió positivo (+), no le pongo el signo. Así que me va dando: = 12x⁴ ................................................ 2) Cuando multiplico (+4x³) por el segundo (-6), pienso: los signos: "menos por menos, dá más (+)" (como dió positivo, va a quedar sumando) los números: 4.6 = 24 las letras: x³. Como no hay otra letra con la cual multiplicarla, queda así. = 12x⁴ - 24x³ ...................................... 3) (-5x²).(+3x) los signos: -.+ = - El término queda restando. los números: 5.3 = 15 las letras: x².x = x².x¹ = x²⁺¹ = x³ = 12x⁴ - 24x³ - 15x³ ............................. 4) (-5x²).(-6) los signos: -.- = + los números: 5.6 = 30 las letras: x². Como no hay otra letra, queda así. = 12x⁴ - 24x³ - 15x³ + 30x² .................... 5) (+2x).(+3x) los signos: +.+ = + los números: 2.3 = 6 las letras: x.x = x¹.x¹ = x¹⁺¹ = x² = 12x⁴ - 24x³ - 15x³ + 30x² + 6x² ............ 6) (+2x).(-6) los signos: +.- = - los números: 2.6 = 12 las letras: x = 12x⁴ - 24x³ - 15x³ + 30x² + 6x² - 12x............ 7) (+1).(+3x) los signos: +.+ = + los números: 1.3 = 3 las letras: x = 12x⁴ - 24x³ - 15x³ + 30x² + 6x² - 12x + 3x ...... 8) (+1).(-6) = -6 = 12x⁴ - 24x³ - 15x³ + 30x² + 6x² - 12x + 3x - 6 Si el resultado de la multiplicación dá positivo, al término se lo pone sumando; y si dá negativo, restando. Y al primer término si dá positivo no se le pone el signo, mientras que si dá negativo se pone el signo "-" delante del número. Así se puede ir resolviendo cada término, evitando los dos pasos intermedios. (más sobre multiplicar con la Propiedad distributiva) La suma de las filas en este EJEMPLO 2: -24x³ + 30x² - 12x - 6 + 12x⁴ - 15x³ + 6x² + 3x ___________________________ 12x⁴ - 39x³ + 36x² - 9x - 6 Luego de multiplicar todos los términos, quedaron estas dos filas para sumar. Es una suma de polinomios, así que se suman entre sí los términos de igual grado (suma de polinomios). Las cuentas de este EJEMPLO 2 serían las siguientes: Columna de las x⁴: Queda el 12x⁴, pues no hay nada con qué sumarlo. Columna de las x³: -24 + (-15) = -24 - 15 = -39 Columna de las x²: +30 + (+6) = 30 + 6 = +36 Columna de las x: -12 + (+3) = -12 + 3 = -9 Columna "de los números solos": Queda el -6, pues no hay nada con qué sumarlo. Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en: MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Explicaciones de otros ejemplos: EJEMPLO 1 (Multiplicación por un monomio) EJEMPLO 3 (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y ordenándolos) EJEMPLO 4 (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos pero sí ordenándolos) EJEMPLO 5 (Multiplicación de polinomios de varias letras) EJEMPLO 6 (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo) EJEMPLO 7 (Sin ordenar ni completar) Política de Privacidad - Contacto: matematicaylisto@gmail.com