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OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7



 

EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)

A =  -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2


                         - 9x2 + x + 5x4       (polinomio A incompleto y desordenado)

             X                    3 -  2x2        (polinomio B incompleto y desordenado)
            __________________________
              - 10x6       + 18x4 - 2x3

                              + 15x4         - 27x2  + 3x
 _________________________________________
             - 10x6        + 33x4 - 2x3  - 27x2 +  3x 


A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3  - 27x2 +  3x 


Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos  es -10x6,  sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los resultados debajo en la columna correspondiente.



EXPLICACIÓN:  (Ver otra forma de multiplicarlos)


1) Ubico un polinomio sobre otro, como cuando se multiplican "a mano" dos números naturales de varias cifras: 


               -9x2 + x + 5x4       (polinomio A incompleto y desordenado)

             X          3 - 2x2        (polinomio B incompleto y desordenado)
           _________________


2) Empiezo multiplicando al -2x2 por cada término del polinomio de arriba, empezando por el de la derecha (aunque también se puede hacer al revés, pero así es más usual). Y pongo los resultados debajo de la línea, empezando por la derecha también. Muestro paso por paso todas las multiplicaciones que hago con el -2x2, y cómo voy ubicando los resultados bajo la línea:


a)
                -9x2 + x + 5x4

             X          3 - 2x2
      _______________________
     -10x6


Porque (-2x2).(+5x4) = -10x6                   (¿cómo se hacen estas multiplicaciones?)

Al término -10x6 lo ubico bien a la izquierda, porque es de grado 6, y en los siguientes resultados podrían aparecer términos de grado 5, 4, 3, 2, 1 ó 0, que tendrían que ir a su derecha si queremos que quede todo ordenado de mayor a menor grado. Dependiendo del grado que tenga cada resultado, calculo más o menos dónde ponerlo para que luego haya lugar para todos los otros grados.



b)
                -9x2 + x + 5x4

             X          3 - 2x2
      _______________________
     -10x6                   - 2x3


Porque (-2x2).(+x) = -2x3                            


Ahora salió un resultado de grado 3. Así que dejo más o menos el espacio que calculo que van a ocupar los términos intermedios: grado 5 y 4. Son dos términos que faltan, así que dejo espacio para dos términos.


c)
               -9x2 + x + 5x4

             X          3 - 2x2
      _______________________
     -10x6        + 18x4  - 2x3


Porque (-2x2).(-9x2) = +18x4


Ahora salió un resultado de grado 4. Puedo ponerlo inmediatamente a la derecha del término de grado 3, en el espacio que había dejado. Se ve cómo aún quedó un espacio entre el término de grado 6 y el de grado 4, adonde iría algún resultado de grado 5 que aparezca. 


2) Y ahora multiplico todos los términos por el 3:
    
a)
               -9x2 + x + 5x4

             X          3 - 2x2
      _______________________
     -10x6        + 18x4  - 2x3
                    + 15x4


Porque (+3).(+5x4) = +15x4


Ahora salió un resultado de grado 4. Como en la fila de arriba ya había un resultado de grado 4, lo pongo debajo de éste.


b)

               -9x2 + x + 5x4

             X          3 - 2x2
      __________________________
     -10x6        + 18x4  - 2x3
                    + 15x4                + 3x


Porque (+3).(+x) = + 3x


Ahora salió un resultado de grado 1 (3x es de grado 1, porque x es igual a x1). Como en la fila de arriba no hay resultado de grado 1, tengo que calcular más o menos dónde ponerlo para que todo siga quedando ordenado por grado. Como es el grado más chico que apareció hasta ahora, tiene que estar a la derecha de todos los otros. Y calculo más o menos para dejar un espacio vacío para el grado 2, ya que el grado 3 sí aparece en la fila superior, y es el más cercano a grado 1.


c)
               -9x2 + x + 5x4

             X          3 - 2x2
      __________________________
     -10x6        + 18x4  - 2x3
                    + 15x4          - 27x2  + 3x


Porque (+3).(-9x2) = -27x2

Y justamente ahora salió un resultado de grado 2. Lo pongo que en espacio que había dejado para ese grado.


4) Y ahora hay que sumar las dos filas. Es una suma de polinomios, y ya están ordenados, y encolumnados según el grado. Puede faltar algún término al principio de las filas, pero eso no dificulta la suma ya que donde hay espacio hay que asumir que hay un cero, es decir que no se suma nada.


               - 9x2 + x + 5x4

             X          3 - 2x2
      __________________________
     -10x6        + 18x4  - 2x3
                    + 15x4          - 27x2  + 3x
_____________________________________
     -10x6       + 33x4   - 2x3 - 27x2 +  3x


Solamente quedaron dos resultados del mismo grado (4), y ya están ubicados en la misma columna. Luego los otros simplemente "se bajan", pues no hay otro término de igual grado para sumarlos.


Resultado:  -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x


(¿cómo se hace esa suma?  suma de polinomios)





CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 


Explicación de las multiplicaciones entre términos de en este EJEMPLO 7:

Con el -2x2:

(-2x2).(+5x4) = -10x6   Porque (-2).(+5) es igual a -10. Y x2.x4 = x2+4 = x6, ya que como son potencias de la misma base, se suman los exponentes.

(-2x2).(+x) = -2x3    Porque x.x2 es igual a x1.x2 (ya que x es igual a x1), y como son potencias de la misma base, se suman los exponentes. Así que: x1.x2 = x1+2 = x3. En cuanto a los números, se puede pensar que no hay otro número con el cual multiplicar a -2, así que queda -2. Y sino, pensar que delante de la x hay un 1, así que (-2).1 = -2.

(-2x2).(-9x2) = +18x4    Porque -2.(-9) es igual a +18. Y x2.x2 es una multiplicación de potencias de la misma base, así que se suman los exponentes: x2.x2 = x2+2 = x4


Con el 3:

(+3).(+5x4) = +15x4    Porque (+3).5 es igual 15, y la x4 no se multiplica por ninguna otra "x", así que queda igual.


+3.(+x) = +3x   (Número por letra no se puede encontrar un resultado, queda así)

(+3).(-9x2) = -27x2    Porque (+3).(-9) es igual -27 , y la "x2" no se multiplica por ninguna otra "x", así que queda igual. (más detalle sobre la multiplicación de monomios)


La suma de las filas en este EJEMPLO 7:


      -10x6        + 18x4  - 2x3
                    + 15x4          - 27x2  + 3x
_____________________________________
     -10x6       + 33x4   - 2x3 - 27x2 +  3x

Luego de multiplicar todos los términos, quedaron estas dos filas para sumar. Es una suma de polinomios, así que se suman entre sí los términos de igual grado (suma de polinomios), que ya los ubiqué encolumnados. La única columna que tiene dos términos para sumar es la de grado 4. En las demás columnas se baja directamente el término, pues no hay otro con cual sumarlo. La única cuenta de este EJEMPLO 7 sería:

Columna de las x4: 15 + (+18) = 15 + 18 = +33. Por eso quedan +33x4.




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Multiplicación por un monomio)
EJEMPLO 2 (Multiplicación de polinomios completos)
EJEMPLO 3 (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y ordenándolos)
EJEMPLO 4 (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos pero sí ordenándolos)
EJEMPLO 5 (Multiplicación de polinomios de varias letras)
EJEMPLO 6 (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo) 




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