EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)

A = 9 + 5x³ - 4x² + x
B = 4x² - 3 - 2x


   5x³  - 4x² + x + 9
+
   0x³ + 4x² - 2x - 3
____________________
   5x³ + 0x² - x  + 6


A + B = 5x³ - x  + 6


La suma de los términos de grado 2 dió 0x². Luego, en el resultado final ya no se ponen los términos con coeficiente cero.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3




EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)


A = 4x³ + 5
B = -2x + x²


   4x³ + 0x² + 0x + 5
+
   0x³ +  x² - 2x + 0
____________________
   4x³ +  x² - 2x + 5


A + B =  4x³ +  x² - 2x + 5


Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4




EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)

A = -3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y - 5xy
B = 8xy - 2xy² + 10 + 4x³y

A + B = (-3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y - 5xy) + (8xy - 2xy² + 10 + 4x³y) =

-3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y - 5xy + 8xy - 2xy² + 10 + 4x³y =

-3xy² - 6x²y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy²  + 4x³y  - 7x²y² =

-9xy² + 14 + 3xy - 2xy²  + 4x³y - 7x²y²


Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA


¿Qué es un polinomio?

Veamos algunos ejemplos de polinomios:

-5x⁴ - 10 + 3x + 7x³
-3x² + 5x - 4
x + 1
2a - 5a³ + a²
-3xy² + 4 - 7xy
1/3 x⁵ - 6

Se puede ver que son expresiones formadas por "sumas y/o restas de términos", donde muchos de ellos tienen una letra o más, y las letras puede tener exponentes positivos (un número natural).


¿Qué son los términos?

Veámoslo con un ejemplo. En el polinomio:

-5x⁴ - 10 + 3x + 7x³

Los términos son: 

-5x⁴
-10
3x
7x³

Recordemos lo que nos decían en los ejercicios combinados con números: "los signos más y menos separan términos". Aunque no hay un signo de multiplicación entre el número y la letras, hay que asumir que están multiplicándose. Cuando entre una letra y un número no hay signo de operación, se sobreentiende que están multiplicandose. Lo mismo pasa cuando hay dos letras juntas. Por ejemplo: "2x" significa "2.x", es decir: "2 multiplicado por x", y "ab" significa "a.b", o sea: "a multiplicado por b".

Cada término es también un polinomio al que se le llama "monomio". Se podría decir que un polinomio es una suma de monomios.


¿Qué es el grado de un término?

Es el exponente al que está elevado la letra del término (en caso de haber una sola). Por ejemplo:

-5x⁴ es un término de grado 4. Porque la letra x está elevada al exponente 4.
7x² es un término de grado 2. Porque la letra x está elevada al exponente 2.
3x es un término de grado 1. Porque si bien la letra x no tiene exponente, x es igual a x¹. Quiere decir que, cuando una letra no tiene exponente, el grado es 1, porque en realidad esa letra está elevada a la potencia 1.
-10 es un término de grado cero. Porque a ese término se le puede agregar la letra del polinomio (indeterminada), elevada a la potencia cero:

-10 es igual a -10x⁰ 

Ya que x⁰ es igual a 1. Y -10.1 es igual a -10. Entonces, como -10x⁰ es igual a -10.1 que es igual a -10, puedo decir al revés: -10 es igual a -10x⁰ (si dos cosas son iguales, son iguales cualquiera sea el orden en que lo diga ¿no?). Así que, como el exponente de la letra es cero, el grado de ese término es cero. A esos términos que son un número sin letra, se les llama: "término independiente". (más sobre el término independiente)

Y cuando el término tiene varias letras, el grado del término es igual a la suma de los exponentes dichas letras. Por ejemplo:

2x⁴y³ es un término de grado 7 (4 + 3)
-5ab² es un término de grado 3 (1 + 2)


¿Qué son los coeficientes?

Son los números que en cada término están delante de las letras (multiplicando, en realidad), o el número que está solo (término sin letra). Por ejemplo:

En el término -5x⁴, el coeficiente es -5. 
En el término 7x³, el coeficiente es 7.
En el término x⁵, el coeficiente es 1. Porque, si bien x⁵ no tiene ningún número delante de la letra, x⁵ es igual a 1x⁵. Quiere decir que cuando "no hay coeficiente", es que en realidad el coeficiente es 1.
En el término -10, el coeficiente es -10. Este término no tiene letra, pero el número es un coeficiente al que se llama "coeficiente constante" (¿qué es una constante?). En el punto anterior también vimos que se le llama "término independiente". 


¿Cuál es el grado de un polinomio?

El grado de todo el polinomio es el grado del término de mayor grado. O de otra manera: si en un polinomio de una sola letra, el grado es el mayor exponente con que vemos a la letra en el polinomio. Por ejemplo:

2a - 5a³ + a²  es un polinomio de grado 3
-5x⁴ - 10 + 3x + 7x³  es un polinomio de grado 4
x + 6 es un polinomio de grado 1 (porque x es igual a x¹)
2 - x² + 5x⁷ es un polinomio de grado 7

Si el polinomio tiene varias letras, el grado es la suma más alta que den los exponentes de alguno de los términos. O sino: es igual al grado del término de mayor grado. Por ejemplo, en:

2x³y² - 5xy³ + 8xy

El grado del polinomio es 5. Porque el término de mayor grado es 2x³y², cuyo grado es 5 ya que hay que sumar los exponentes de la letras para saber el grado cuando hay varias letras: 3 + 2 = 5. Los otros dos términos tienen grado menor que 5: El término - 5xy³ es de grado 4 (1 + 3), y el término 8xy es de grado 2 (1 + 1).


¿Cómo se suman los polinomios?  (otra explicación más directa)

Si el polinomio tiene una sola letra (que es lo más común), se puede decir, de una manera resumida, que "se suman entre sí los términos de igual grado". Es decir: "las x se suman con las x, las x² con las x², las x³ con las x³, los números solos con los números solos, etc." Y lo que se suma son los números de adelante (coeficientes). Y el resultado de la suma de cada par de términos sigue siendo del mismo grado, es decir, lleva la letra con el mismo exponente que tenían los términos. Podemos decir que el coeficiente del resultado es igual a la suma de los coeficientes de cada término, y la letra queda con el mismo exponente (justificación de por qué se suma así). Por ejemplo:

3x² y 7x² son dos términos de igual grado. Su suma dá:

3x² + 7x² = 10x²        (justificación de por qué se suma así)

Ya que (3 + 7) = 10. Sumé los coeficientes, y la letra quedó con el mismo grado.

2x³ y -5x³ son dos términos de igual grado. Sumo sus coeficientes:

2 + (-5) = 2 - 5 = -3. 

Entonces, su suma dá:

2x³ + (-5x³)= -3x³

Luego, para sumar dos polinomios, se suman los términos de uno y del otro que sean "semejantes" (de igual grado cuando tiene una sola letra). Por ejemplo:

A = 2x⁴ - x³  + 1/2 x - 3x² - 8
B = -5x⁴ - 10 + 3x + 7x³

Para sumar esos dos polinomios, hay que sumar a:

2x⁴ con -5x⁴ 
-x³ con 7x³
1/2 x con 3x
-8 con -10
y -3x² no se puede sumar con ningún término de B, porque B no tiene término de grado 2.

Como dijimos, se suman los coeficientes, entonces esas suman dan:

2x⁴ + (-5x⁴) = 2x⁴ - 5x⁴ = -3x⁴      (suma de los coeficientes: 2 + (- 5) = 2 - 5 = -3)
-x³ + (+7x³)= -1x³ + 7x³ = 6x⁴      (suma de los coeficientes: -1 + (+7) = -1 + 7 = 6)
1/2 x + (+3x) = 1/2 x + 3x = 7/2 x  (suma de los coeficientes: 1/2 + (+3) = 1/2 + 3 = 7/2)
-8 - 10 = -18
-3x² + 0x² = -3x²                        (suma de los coeficientes: -3 + 0 = -3)

Entonces, el resultado de la suma es el polinomio formado por todos esos términos:

A + B = -3x⁴ + 6x³ + 7/2 x - 18 - 3x²

(los términos que dieron positivos se ponen sumando, y los que dieron negativos se ponen restando)

Pero para hacer esto de manera ordenada, se suelen ordenar (de mayor a menor grado) y completar a los polinomios, y ponerlos uno sobre otro de manera que en las columnas estén los términos de igual grado, como se hacía en la suma de números naturales de varias cifras. El procedimiento es el siguiente:

1) Ordenar y completar los polinomios (más explicación sobre esto):

A = 2x⁴ - x³  + 1/2 x - 3x² - 8      (desordenado)
A = 2x⁴ - x³  - 3x² + 1/2 x - 8      (ordenado)

B = -5x⁴ - 10 + 3x + 7x³              (desordenado e incompleto)
B = -5x⁴ + 7x³ + 0x² + 3x - 10      (ordenado y completo)

2) Ponerlos (ya ordenado y completo cada uno) sumando uno sobre otro, cuidando que en cada columna queden dos términos de igual grado:

     2x⁴ -  x³  - 3x² + 1/2 x  - 8
+
   -5x⁴ + 7x³ + 0x² +    3x  - 10
_____________________________
   -3x⁴ + 6x³ - 3x² + 7/2 x - 18

Así, lo que hay que sumar son los coeficientes de cada columna, y debajo de la línea se pone el resultado de cada suma, con la letra elevada al exponente que corresponde a dicha columna.

Primera columna: 2 + (-5) = 2 - 5 = -3. Como es la columna de las x⁴, el resultado es: -3x⁴.
Segunda columna: -1 + 7 = 6. Como es la columna de las x³, el resultado es: 6x³.
etc.

Pero en realidad ésa es sólo una forma de acomodar los términos, y no es imprescindible hacerlo, aunque si lo enseñan así esperan que así lo hagamos al principio. Porque también hay otra forma de disponer los polinomios, a la que podríamos llamar "sumarlos en línea", o "en el mismo renglón". La suma de los dos polinomios se puede expresar así:

(2x⁴ -  x³  - 3x² + 1/2 x  - 8) + (-5x⁴ - 10 + 3x + 7x³) =

Luego quito los paréntesis. Los signos de los términos no cambian, porque ningún paréntesis está precedido de un signo menos, y el signo de la suma desaparece (regla paréntesis):

2x⁴ -  x³  - 3x² + 1/2 x  - 8 - 5x⁴ - 10 + 3x + 7x³ =

Como se vió antes, hay que sumar los términos de igual grado. El paso que voy hacer ahora no es imprescindible, pero sirve para poder ver juntos a los pares de términos que voy a sumar (lo que algunos dicen "juntar"). Les voy a cambiar el orden para que queden juntos:

2x⁴ - 5x⁴ - x³ + 7x³  + 1/2 x  + 3x - 8  - 10 - 3x² =

(Cuando cambio el orden de los términos estoy amparándome en la Propiedad conmutativa de la suma (a + b = b + a) (¿pero todos los términos están sumando?). Y cada término "se traslada" con el signo que tiene delante. Para no equivocarse hay que pensar que "el signo del término es el signo que tiene delante", y no ver los signos como sumas o restas) 

Ahora voy a "juntar" a cada par, haciendo la operación correspondiente:

2 - 5 = -3        Entonces quedan -3x⁴
-1 + 7 = +6        Entonces quedan 6x³
1/2 + 3 =  +7/2   Entonces quedan 7/2 x
-8 - 10 = -18    Entonces el término independiente es -18

Y como solamente hay un término con x², no se puede juntar con otro, así que quedan -3x².

Y entonces el resultado es:

-3x⁴ + 6x³ + 7/2 x - 18 - 3x²

Los pasos del ejercicio son, entonces:

(2x⁴ -  x³  - 3x² + 1/2 x  - 8) + (-5x⁴ - 10 + 3x + 7x³) =
2x⁴ -  x³  - 3x² + 1/2 x  - 8 - 5x⁴ - 10 + 3x + 7x³ = 
2x⁴ - 5x⁴ - x³ + 7x³ + 1/2 x  + 3x - 8  - 10 - 3x² =   (paso hecho para ordenar, no es obligatorio)
-3x⁴ + 6x³ + 7/2 x - 18 - 3x²


Ahora, cuando los polinomios que sumo tienen varias letras, por ejemplo:

A = -3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y
B = 8xy - 2xy² + 10

ya no puedo decir que sumo los términos de igual grado. Porque dos términos pueden tener igual grado pero diferente parte literal. Por ejemplo: -2xy² y -6x²y son ambos de grado 3. Sin embargo la parte literal es diferente, porque el primero tiene la x y la y², y el otro al revés. Entonces esos dos términos no deben sumarse. Incluso en el mismo polinomio puede haber dos términos de igual grado (como -3xy² y -6x²y en el polinomio A). Entonces, no podemos decir que para sumar dos polinomios de varias letras hay que sumar los coeficientes de los términos del mismo grado, sino que, para sumar dos polinomios de varias letras hay que sumar los coeficientes de los términos que tienen igual "parte literal" (¿parte literal?), es decir los que tienen la o las mismas letras con los mismos exponentes.  Recordemos que a los términos con igual parte literal se los llama "semejantes". Es decir que hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos semejantes, y el resultado es un término con la misma parte literal. Incluso, cuando se suman polinomios con varias letras no se suelen poner uno sobre otro, ni ordenarlos por grado, etc., porque eso ya no es práctico y muchas veces son pocos los términos que coinciden en su parte literal. Entonces es mejor sumarlos "en línea", así:

-3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y + (8xy - 2xy² + 10) =
-3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y + 8xy - 2xy² + 10 =
-3xy² - 2xy² + 4 + 10 - 7x²y² - 6x²y =      (paso para que se vean juntos los términos semejantes)
-5xy² + 14 - 7x²y² - 6x²y

Los únicos términos que eran semejantes entre sí son:

-3xy² - 2xy² (su parte literal es igual: xy²) (suma de los coeficientes: -3 + (-2) = -3 - 2 = 5)
4 + 10 = 14  (no tienen parte literal, son términos independientes)

Los términos que no se sumaron con otros, quedaron iguales.


¿A qué se le llama términos "semejantes"?

Empecemos viendo ejemplos de términos semejantes:

5ab²  y  16ab²

2abc  y  -4abc

3z²x⁴  y  8z²x⁴

x⁵ y 7x⁵

3 y 4

Mirando esos ejemplos habrán notado que si un término es semejante a otro, tiene exactamente las misma letras y cada una con el mismo exponente que el otro. Las letras de un término forman lo que se llama "parte literal" del término (literal: de "letra"). Entonces, se les llama "semejantes" a los términos que tienen la misma parte literal.
Si los términos tienen una sola letra (como 7x² y -5x²), el exponente de la letra será el grado del término (¿qué es el grado?). En esos casos, los términos de igual grado son semejantes.


¿Cómo se ordena y se completa un polinomio?

Se ordena sus términos por el grado (exponente de la letra, cuando tiene una sola). Y se completan con ceros los grados intermedios que puedan faltar. Por ejemplo:

P = -2x + 5x⁴ + 6 - 3x⁵                 (incompleto y desordenado)

El polinomio P está incompleto, porque le faltan los términos de grado 2 y 3, ya que se puede ver que ninguno de sus términos tiene la x² ni la x³. Y está desordenado, porque empieza con el término de grado 1, sigue con el de grado 4, luego grado 0 y luego grado 5, lo cual no es el orden de los números naturales (orden ascendente: 0, 1, 2, 3, 4, 5... ; orden descendente: ... 5, 4, 3, 2, 1, 0). Voy a ordenarlo y completarlo a la vez:

P = -3x⁵ + 5x⁴ + 0x³ + 0x² - 2x + 6      (completo y ordenado)

Lo ordené de grado mayor a grado menor. Así se hace con mayor frecuencia, porque es como sirve tenerlos para las operaciones, sobre todo para la división y la regla de Ruffini. Y completé los dos grados que faltaban con 0x³ y 0x². Porque como 0x³ es igual a 0 (multiplicación de cero por x³, y cero por cualquier cosa dá cero), lo mismo que 0x², no cambia al polinomio al agregarlos sumando. Porque sumar cero no cambia nada, ya que el cero es neutro en la suma: sumarlo no cambia el resultado.
Otro ejemplo:

Q = 2x - x² + 2x⁶       (incompleto y desordenado)

Q = 2x⁶ + 0x⁵ + 0x⁴ + 0x³ - x² + 2x + 0      (completo y ordenado)

No hay que olvidarse del término independiente, el "número solo", que si el polinomio no lo tiene, hay que agregar el 0 como término independiente, para que el polinomio esté completo en todos sus grados.


¿Por qué puedo decir que todos los términos están sumando, si hay términos que son negativos?

Cuando más arriba estaba explicando qué hacer con esto:

2x⁴ - x³ - 3x² + 1/2 x - 8 - 5x⁴ - 10 + 3x + 7x³ =

Dije que se podía cambiar el orden de los términos, por la Propiedad conmutativa de la suma. Pero puede que alguien se haga la siguiente pregunta ¿por qué es eso una suma, si también hay restas? Pero ya trabajando con los conjuntos de los números Enteros, Racionales, y Reales, se sabrá que resta y suma al fin de cuentas son lo mismo: restar es igual a sumar el opuesto. Por ejemplo 2 - 5 es igual a 2 + (-5). Entonces, la expresión que escribí antes la puedo escribir así:

2x⁴ + (-x³) + (-3x² ) + (+1/2 x) + (-8) + (-5x⁴) + (-10) + (+3x) + (+7x³) =

Así se ve más claramente que es una suma. Y entonces puedo cambiar el orden de los términos que estoy sumando, por la Propiedad conmutativa de la suma:

2x⁴ + ( - 5x⁴) + (-x³) + (+ 7x³) + (- 8) + (- 10) + (+1/2 x) + (+3x) + (-3x² ) = 

Luego, si se quita cada paréntesis, llegamos a lo mismo que mostré antes:

2x⁴ - 5x⁴ - x³ + 7x³ + 1/2 x  + 3x - 8  - 10 - 3x² =

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