EXPLICACIÓN: (Ver
otra forma de sumarlos)
1) Ordeno y completo cada polinomio, de grado mayor a menor:
A =
- 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x
(polinomio A desordenado)
A = 2x4 - x3 - 3x2 + 1/2x -
8 (polinomio A ordenado)
B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3
(polinomio B incompleto y desordenado)
B = -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x -
10 (polinomio B completo y
ordenado)
(¿cómo se ordena y completa
un polinomio? ¿qué es el grado?)
(¿es
imprescindible ordenarlos y completarlos?)
2) Los pongo uno sobre otro, procurando que queden encolumnados los términos
de igual grado:
2x4 - x3 -
3x2 + 1/2x - 8
+
-5x4 + 7x3 + 0x2 +
3x - 10
_____________________________
3) Sumo los números (coeficientes) de cada columna, y pongo el resultado
abajo:
Columna de las x4. Suma de los coeficientes: 2 + (-5) = 2 - 5 = -3
(¿hace
falta ese primer paso con paréntesis?)
2x4 - x3 - 3x2 + 1/2x -
8
+
-5x4 + 7x3 + 0x2 +
3x - 10
_____________________________
-3x4
Columna de las x3. Suma de los coeficientes: -1 + (+7) = -1 + 7 = 6
(¿de dónde salió
el -1?)
2x4 - 1x3 - 3x2 + 1/2x -
8
+
-5x4 + 7x3 + 0x2 +
3x - 10
_____________________________
-3x4 + 6x3
(¿por qué el 6
queda sumando?)
Columna de las x2. Suma de los coeficientes: -3 + (+0) = -3 + 0 = -3
2x4 - x3 -
3x2 + 1/2x -
8
+
-5x4 + 7x3 + 0x2 +
3x - 10
_____________________________
-3x4 + 6x3 -
3x2
Columna de las x. Suma de los coeficientes: +1/2 + (+ 3) = 1/2 + 3 = +7/2
2x4 - x3 - 3x2
+ 1/2x -
8
+
-5x4 + 7x3 + 0x2 +
3x - 10
_____________________________
-3x4 + 6x3 -
3x2 + 7/2 x
Columna
de los números solos. Suma de los coeficientes: -8 + (-10) = - 8 - 10 = -18
2x4 - x3 - 3x2 + 1/2x
-
8
+
-5x4 + 7x3 + 0x2 +
3x - 10
_____________________________
-3x4 + 6x3 -
3x2 + 7/2 x - 18
(justificación
de por qué se suman los coeficientes de igual grado y por qué no cambia el
grado)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los Conceptos Generales de este tema están en: SUMA DE
POLINOMIOS
¿No se puede hacer la suma sin ordenar y completar los polinomios?
Sí, porque basta con que sumemos entre sí los términos
semejantes (¿qué
era eso?), no importa cómo se disponga a los
polinomios. Si los vamos a poner uno sobre otro, tenemos que ubicar en la misma
columna a los semejantes, pero no hace falta que estén ordenados por grado, ni
completos los polinomios, ya que se puede dejar el espacio del grado que falta y eso nos indica
que allí no hay nada que sumar. Por ejemplo:
A = 4x + 2x4 - 1 - 5x3
(desordenado e incompleto)
B = -5x4 + 7x + 3x2 (desordenado e incompleto)
-4x + 2x4 - 1 - 5x3
(desordenado e incompleto)
+
7x - 5x4
+ 3x2 (desordenado
e incompleto, pero "acomodado")
________________________
3x - 3x4 - 1 - 5x3 + 3x2
Lo que hice fue poner el primer polinomio (A) tal como venía, y cuando puse el
otro polinomio abajo, cuidé de acomodar sus términos según los de arriba,
para que coincida el grado y así queden en columna los términos semejantes.
Como el polinomio B no tenía término de grado 0 y de grado 3, quedó el
espacio libre debajo de esos términos de A. Y luego, como B tenía término de
grado 2, y A no, a ese término lo ubiqué al final de todo para que quede claro
que no lo estoy sumando con nada.
Así, se pueden acomodar de cualquier manera, mientras que en la misma columna
queden siempre términos semejantes (de igual potencia o grado en polinomios de
una sola letra como éstos).
¿Cómo se puede hacer la cuenta entre los coeficientes sin usar paréntesis
y que no queden dos signos seguidos?
En el paso 2 de la explicación, mostré las sumas de coeficientes de esta
manera:
2 + (-5) = 2 - 5 = -3
Pero para hacerlo de una manera más práctica, se puede evitar poner el
paréntesis y el signo de suma. Porque 2 + (-5) es lo mismo que 2 - 5, es decir:
los dos coeficientes, cada uno con su signo (si el primero es + no se hace falta
ponerlo), sin el signo de suma. Porque el signo + no cambia el signo del número
que sigue en la suma, y al quitar el paréntesis siempre queda el signo del
segundo coeficiente (y desaparece el signo de la suma). Luego, ya sabrán de
temas anteriores cómo se resuelve una cuenta como 2 - 5. Así pueden hacer
siempre con cada par de coeficientes que sumen:
En lugar de pensar en calcular -1 + (+7)
=, directamente se puede calcular -1 + 7
En lugar de pensar en calcular -3 + (+0) =,
directamente se puede calcular: -3 + 0
En lugar de pensar en calcular 1/2 + (+
3) =, directamente se puede calcular: 1/2 + 3
En lugar de pensar en calcular - 8 + (-10) =,
directamente se puede calcular: - 8 - 10
Otra forma de disponer los polinomios para sumarlos:
Como ya expliqué en los conceptos generales (ver
aquí), también se suelen sumar los polinomios en un
"mismo renglón". Lo voy a hacer así para este EJEMPLO 1:
A =
- 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x
B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3
Para calcular A + B:
1) Los pongo entre paréntesis, sumando:
(- 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x) + (-5x4 - 10 + 3x + 7x3)
=
2) Quito los paréntesis:
- 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x - 5x4 - 10 + 3x + 7x3
=
Al quitar paréntesis que tienen un signo "+" delante, o que no tienen
nada delante (lo que equivale a tener un signo "+"), los términos quedan con
el mismo signo que tenían.
(reglas
para quitar paréntesis)
3) "Junto" los términos de igual grado. Es decir, sumo entre sí los
coeficientes de los términos que tienen igual grado. Algunos prefieren hacer un
paso previo para cambiar el orden de los términos, poniendo juntos a los
términos que son de igual grado, y sumarlos luego en otro paso. Se
puede cambiar el orden de los términos por la Propiedad
conmutativa de la suma (a + b = b + a) (¿pero todos los términos están
sumando?). Ese paso, que no es imprescindible, sería
así:
2x4 - 5x4 - 8 - 10
- x3 + 7x3
+ 1/2 x + 3x - 3x2 =
Así, se pueden ver juntos los términos que hay que sumar: los dos primeros que
son de grado 4, los números que están solos, los de grado 3, los de grado 1, y
se ve que de grado 2 hay uno solo y entonces no se lo podrá sumar con nada.
Y ahora, sumo entre sí los términos de igual grado:
- Para las x4: "Junto" 2x4 - 5x4 = -3x4.
Antes dije que "sumo" los coeficientes, pero
2 + (-5) es lo mismo que
2 - 5, entonces, ya no hace falta pensar en que "sumo". A partir de
ahora, cuando digo "junto", estoy diciendo que "hago la
cuenta" entre sus coeficientes, y ya no pondré el signo de suma entre los
términos, porque es igual si no está. Es algo que deben saber ya desde que
aprendieron a sumar números enteros. El término 2x4 es positivo,
porque en el polinomio estaba sumando. El signo del coeficiente de cada término
es el signo que tiene adelante el término. Por la misma razón, el término -5x4
es negativo, porque en el polinomio estaba restando: tenía un signo menos
adelante.
- Para los "números solos" (términos independientes o de grado 0): - 8
- 10 = -18
- Para las x3: "Junto" -x3 + 7x3 = 6x3.
(Recordemos que -x3 es lo mismo que -1x3. Entonces la cuenta
entre los coeficientes es -1 + 7 = 6)
- Para las x: "Junto" 1/2 x + 3x = 7/2 x
- Para las x2: Hay un solo término con x2, así que ése queda
igual: -3x2.
4) Armo el resultado:
Entonces el resultado de la suma es un polinomio formado por todos esos
términos, cada uno con su signo (recordemos que "sin signo" es lo
mismo que "positivo", entonces los términos que dieron así van a
quedar sumando en el polinomio), en cualquier orden:
Resultado:
-3x4 - 18 + 6x3 + 7/2x
- 3x2
Ésa es la forma en que se hace en la práctica. Pero para que se pueda ver
cómo se están sumando los polinomios, término a término del mismo grado,
ahora no quitaré los paréntesis. Así se ve que estoy usando el mismo concepto
para sumar polinomios: sumar entre sí los coeficientes de los términos de
igual grado:
(-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x)
+ (-5x4 - 10 + 3x + 7x3)
=
Para las x4:
+2x4 + (-5x4)
= [+2 + (- 5)]x4 = (+2 - 5)x4 = -3x4
Para los números solos:
-8 + (-10) = -8 - 10 = -18
Para las x3:
-x3 + (+7x3) = [(-1) + (+7)]x3 = (-1 + 7)x3
= 6x3
Para las x:
+1/2 x + (+3x) = [+1/2 + (+3)]x = (1/2 + 3)x = 7/2 x
Resultado:
-3x2 + (-3x4) + (-18) + 6x3 + 7/2 x = -3x2
- 3x4 - 18 + 6x3 + 7/2 x
Y veamos una justificación de por qué se puede hacer todo esto, parecida a la
justificación que dí de por qué se suman los coeficientes de los términos de
igual grado (ver
aquí la otra):
Lo hago en otro ejemplo de suma, con polinomios que tienen todos los términos
positivos, para que se entienda mejor:
A = 2x4 + 5x + 4x3 + 7
B = 1 + 3x4 + 2x3 + 5x2 + 4x
A + B = (2x4 + 3x + 4x3 + 7) + (1 + 3x4 + 2x3
+ 5x2 + 4x) =
2x4 + 3x + 4x3 + 7 + 1 + 3x4 + 2x3 +
5x2 + 4x =
Como ya expliqué antes (ver
aquí), 2x4 significa "sumar 2 veces x4" (
recordemos que 2x4 es lo mismo que 2.x4, es decir
que significa: "2 multiplicado por x4",
ver aquí), es
decir:
x4 + x4 (Sumar algo 2 veces es igual a multiplicarlo por 2). Y así con todos los términos: El
coeficiente es la cantidad de veces que se suman. Entonces desarrollo así:
x4 + x4 + x + x + x + x3 + x3 + x3
+ x3 + 7 + 1 + x4 + x4 + x4 +
x3 + x3 + 5x2 + x + x + x + x =
Ahora puedo cambiar el orden, por la Propiedad conmutativa de la suma,
para poner juntos los términos de igual grado, a ver cuántos hay de cada
uno, y así esa cantidad será el coeficiente del término de ese grado:
x4 + x4 + x4 + x4 + x4 +
x + x + x + x + x + x + x
+ x3 + x3 + x3
+ x3 + x3 + x3 + 7 + 1
+ 5x2 =
Ahí se puede ver que quedó, por ejemplo, 5 veces x4, lo que
es igual a 5.x4, o sea 5x4 (sumar algo 4 veces es lo mismo que multiplicarlo por 4). Y así con todos los grados. El término de
grado 2 (5x2) no lo desarrollé, porque no hay otro término de
ese grado con cual sumarlo, y entonces va a quedar igual: no se agregarán
más x2. Y los números solos (7 y 1) tampoco pues 7 + 1 = 8 no
es necesario mostrar de dónde viene. Entonces vamos a ver cuántas x
quedaron de cada grado:
Resultado:
5x4 + 7x
+ 6x3 + 8 + 5x2
¿De dónde salen los "unos"?
El coeficiente del término x3 es 1. Porque x3 es
igual a 1.x3, ya que el coeficiente es un número que está
multiplicando a la letra, y como el "1" es neutro en la
multiplicación, 1.x3 es lo mismo que x3. Cuando
necesitamos usar el coeficiente de un término que parece no tener
coeficiente, como por ejemplo x3, x, x2, x4,
a, b5, etc., hay que recordar que sí tiene un coeficiente: es
el número 1. Y si el término es negativo, por ejemplo -x3, el
coeficiente es -1. Por la misma razón de antes: -1.x3 es igual
a -x3.
¿Cómo se determina el signo queda entre los términos?
Los términos del resultado quedan sumando o restando según el signo del
resultado de la suma de los coeficientes correspondientes. Por ejemplo:
Al sumar 2x4 - 5x4, el resultado fue -3x4.
Entonces, en el polinomio resultado, 3x4 queda restando, porque
el resultado de la suma de los coeficientes dió negativo.
Al sumar -x3 + 7x3, el resultado fue 6x3.
Entonces, ese término quedará sumando en el polinomio, porque el
resultado fue positivo (recordemos que 6x3 es igual a +6x3).
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SUMA DE POLINOMIOS
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 2 (Suma de polinomios de distinto grado)
EJEMPLO 3 (Uno de los términos del resultado es cero)
EJEMPLO 4 (No hay términos semejantes)
EJEMPLO 5 (Suma de polinomios de varias letras)
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