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OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2



 

EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)

A = -3x2 + 5x - 4             (grado 2)
B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1      (grado 3)

    0x3 - 3x2 + 5x - 4          (el polinomio A ordenado y completo)
+
   4x3  - 5x2 + 2x + 1         (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
   4x3  - 8x2 + 7x - 3


A + B = 4x3  - 8x2 + 7x - 3


En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.



EXPLICACIÓN:        (Ver otra forma de sumarlos)


1) Ordeno y completo cada polinomio, de grado mayor a menor:

A = - 3x2 + 5x - 4        (éste ya estaba ordenado y completo)

B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1   (éste también ya vino ordenado y completo) 

(¿cómo se ordena y completa un polinomio? ¿qué es el grado?)

(¿es imprescindible ordenarlos y completarlos?)


2) Los pongo uno sobre otro, procurando que queden encolumnados los términos de igual grado:

          - 3x2 + 5x - 4
+
   4x3  - 5x2 + 2x + 1
____________________


Pero el polinomio A no tiene término de grado 3, mientras que el polinomio B sí lo tiene. Entonces queda un espacio vacío en la primera columna, que se puede completar con 0x3, aunque no es obligatorio hacerlo:

  0x3 -  3x2 + 5x - 4 
+
  4x3  - 5x2 + 2x + 1
____________________


(¿por qué se puede agregar 0x3?)


3) Sumo los números (coeficientes) de cada columna, y pongo el resultado abajo:

Columna de las x3. Suma de los coeficientes: 0 + 4 = 4

   0x3 -  3x2 + 5x - 4 
+
   4x3  - 5x2 + 2x + 1
____________________
   4x3


Columna de las x2. Suma de los coeficientes: -3 + (-5) = -3 - 5 = -8
                                                 (¿hace falta ese primer paso con paréntesis?)
  0x3 -  3x2 + 5x - 4 
+
   4x3  - 5x2 + 2x + 1
____________________
   4x3 -  8x2


Columna de las x. Suma de los coeficientes: 5 + (+2) = 5 + 2 = +7

   0x3 - 3x2 + 5x - 4 
+
   4x3 - 5x2 + 2x + 1
____________________
   4x3 - 8x2 + 7x

Columna de los números solos. Suma de los coeficientes: -4 + (+1) = -4 + 1 = -3


   0x3 - 3x2 + 5x  - 4 
+
   4x3  - 5x2 + 2x + 1
____________________
   4x3 -  8x2 + 7x - 3


(justificación de por qué se suman los coeficientes de igual grado y por qué no cambia el grado)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SUMA DE POLINOMIOS 


¿Por qué se puede completar el polinomio con 0x3?

Porque como 0x3 es igual a 0.x3 (¿por qué?), o sea que es igual a 0 (multiplicación de cero por x3, y cero por cualquier cosa dá cero), no cambia al polinomio al agregarlo sumando. Porque sumar cero no cambia nada, ya que el cero es neutro en la suma: sumar cero no cambia el resultado.


Otra forma de disponer los polinomios para sumarlos:

Como ya expliqué en los conceptos generales (ver aquí), también se suelen sumar los polinomios en un "mismo renglón". Lo voy a hacer así para este EJEMPLO 2:

A = -3x2 + 5x - 4
B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1

Para calcular A + B:

1) Los pongo entre paréntesis, sumando:

(-3x2 + 5x - 4) + (4x3 - 5x2 + 2x + 1) =

2) Quito los paréntesis:

-3x2 + 5x - 4 + 4x3 - 5x2 + 2x + 1=

Al quitar paréntesis que tienen un signo "+" delante, o que no tienen nada delante (lo que equivale a tener un signo "+"), los términos quedan con el mismo signo que ya tenían.
(reglas para quitar paréntesis)

3) "Junto" los términos de igual grado. Es decir, sumo entre sí los coeficientes de los términos que tienen igual grado. Algunos prefieren hacer un paso previo para cambiar el orden de los términos, poniendo juntos a los términos que son de igual grado, y sumarlos luego en otro paso. Se puede cambiar el orden de los términos por la Propiedad conmutativa de la suma (a + b = b + a) (¿pero todos los términos están sumando?). Ese paso, que no es imprescindible, sería así:

- 3x2 - 5x2 + 5x + 2x - 4 + 1 + 4x3 =

Así, se pueden ver juntos los términos que hay que sumar: los dos primeros que son de grado 2, los de grado 1, y se ve que de grado 3 hay uno solo y entonces no se lo podrá sumar con nada.

Y ahora, sumo entre sí los términos de igual grado:

- Para las x2: "Junto" -3x2 - 5x2. Antes dije que "sumo" los coeficientes, pero
-3 + (-5) es lo mismo que -3 - 5, entonces, ya no hace falta pensar en que "sumo". A partir de ahora, cuando digo "junto", estoy diciendo que "hago la cuenta" entre sus coeficientes, y ya no pondré el signo de suma entre los términos, porque es igual si no está. Es algo que deben saber ya desde que aprendieron a sumar números enteros. El término -3x2 es negativo, porque en el polinomio estaba restando, y lo mismo con -5x2. El signo del coeficiente de cada término es el signo que tiene adelante el término. Como
-3 - 5 = -8, quedan -8x2.

- Para las x: "Junto" 5x + 2x. Como 5 + 2 es 7, Así quedan 7x.

- Para los números solos:"Junto" -4 + 1 = -3.

- Para las x3: Hay un solo término con x3, así que ése queda igual: 4x3.

4) Armo el resultado:

Entonces el resultado de la suma es un polinomio formado por todos esos términos, cada uno con su signo (recordemos que "sin signo" es lo mismo que "positivo", entonces los términos que dieron así van a quedar sumando en el polinomio), en cualquier orden:

Resultado:

- 8x2 + 7x - 3 + 4x3  

(más sobre esto)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SUMA DE POLINOMIOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de polinomios del mismo grado)
EJEMPLO 3 (Uno de los términos del resultado es cero)
EJEMPLO 4 (No hay términos semejantes)
EJEMPLO 5 (Suma de polinomios de varias letras)



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