TEMA: ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA - FORMA GENERAL Y FORMA CANÓNICA - COMPLETAR CUADRADOS - FÓRMULAS PARA HALLAR EL CENTRO Y EL RADIO

08-05-11 RESPUESTA PARA erickraken   (CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LOS EJES)

ola soy erick quiero ver si me pueden ayudar con este problema 

el area de una circunferencia en 25pi encuentra la es ecuacion general si es tangente a los ejes coordenados en el segundo cuadrante 

Cursando:: preparatoria
Edad:: 16
Nacionalidad:: mexicano

Hola erick. El área del círculo se calcula con la fórmula:

Area O = ∏.R²              ("PI por Radio elevado al cuadrado")

Y el enunciado dice que el área es igual a 25∏. Entonces:

∏.R² = 25∏

Podemos cancelar ∏, porque está multiplicando en ambos términos, y queda:

R² = 25

R = 5

(El resultado negativo de esa ecuación no lo tenemos en cuenta, porque buscamos la medida un segmento, que es un número positivo)

Y como ya sabemos la medida del radio, y el enunciado dice que la circunferencia es "tangente" (los toca en un punto) a los ejes de coordenadas (el eje "x" y el eje "y") en el segundo cuadrante (el de arriba a la izquierda), podemos intentar dibujarla allí con esos datos:



Sí, con esos datos es suficiente para dibujarla. Nos podemos dar cuenta de que, si el radio mide 5 y la circunferencia toca los ejes, el centro está en las coordenadas -5 y 5, porque la distancia del centro a los ejes debe ser 5 para que sea tangente a ellos. Así deducimos que el centro de la circunferencia es el punto:

CENTRO = (-5,5)

Y conociendo el centro y el radio, se puede escribir la ecuación canónica de la circunferencia, que en general es:

(x - x_c)² + (y - y_c)² = R²

Siendo x_c e y_c las coordenadas del centro, y R el radio. Así que si tenemos:

CENTRO = (x_c,y_c) = (-5,5)

R = 5

La ecuación canónica es:

(x - (-5))² + (y - 5)² = 5²

(x + 5)² + (y - 5)² = 25                ECUACIÓN CANÓNICA

Pero no te piden la ecuación canónica, sino la ecuación general. Entonces hay que pasarla, y se puede hacer desarrollando los binomios al cuadrado, y luego pasando todos los términos de un lado y que del otro quede cero. Ya que la fórmula general, en general es:

x² + y² + Ax + By + C = 0

Así que operamos para llegar a esa forma:

(x + 5)² + (y - 5)² = 25

x² + 2.x.5 + 5² + y² - 2.x.5 + (-5)² = 25

x² + 10x + 25 + y² - 10y + 25 - 25 = 0

x² + y² + 10x - 10y + 25 = 0         ECUACIÓN GENERAL

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23-04-11 Pregunta de brenda      (HALLAR EL CENTRO Y EL RADIO)

hola!tengo un trabajo practico y necesito saber como es el siguiente problema por que no lo entiendo... 
"indiquen el centro y radio de la siguiente circunferencia: 
( x - 3)ELEVADO AL CUADRADO + (Y - 2)ELEVADO AL CUADRADO =25....GRACIAS

Cursando:: 5TO 
Edad:: 15
Nacionalidad:: ARGENTINA
¿Qué opinas de la web?: ES BUENA PARA DESPEJAR DUDAS SOBRE LAS MATEMÁTICAS....

Hola brenda. La ecuación canónica de la circunferencia tiene esta forma:

(x - x_c)² + (y - y_c)² = R²

Donde "x_c" es la coordenada "x" del centro, "y_c" es la coordenada "y" del centro, y R es el radio. Así que es muy fácil hallar esas cosas en la ecuación que te dieron:

(x - 3)² + (y - 2)² = 25

x_c = 3
y_c = 2

El centro es el punto:

(3,2)

Y el radio:

R² = 25

R = V25

R = 5

El radio mide: 5

10-03-11 Pregunta de Montsee       (CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR 3 PUNTOS)

HOLA QUISIERA SABER SI ME PUEDES AYUDAR CON ESTE PROBLEMA: 
Determina la ecuación centro y radio de la circunferencia que pasa por los 3 puntos, A (1,1) B (1,-1) y C (2,0) 

muchisisimas gracias

Hola Montsee. Puedes usar la ecuación general de la circunferencia, que es así:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Donde D, E y C son ciertos números que tenemos que encontrar. Para eso podemos reemplazar la "x" y la "y" con las coordenadas de los puntos que nos dieron, porque esos puntos pertenecen a la circunferencia, así que cumplen con la ecuación:

En el punto A = (1,1), la "x" es igual a 1 y la "y" es igual a 1. Así que reemplacemos:

1² + 1² + D.1 + E.1 + F = 0

1 + 1 + D + E + F = 0

2 + D + E + F = 0

En el punto B = (1,-1), la "x" es igual a 1 y la "y" es igual a -1:

1² + (-1)² + D + E.(-1) + F = 0

1 + 1 + D - E + F = 0

2 + D - E + F = 0

En el punto C = (2,0), la "x" es igual a 2, y la "y" es igual a 0:

2² + 0² + D.2 + E.0 + F = 0

4 + 0 + 2D + 0 + F = 0

4 + 2D + F = 0

Así, quedan 3 ecuaciones con 3 incógnitas: D, E y F. Entonces se puede armar un sistema y resolverlo para hallar el valor de esos 3 números. 

Sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas:

2 + D + E + F = 0
2 + D - E + F = 0
4 + 2D + F = 0

Para resolver un sistema de 3x3 hay varios métodos (sustitución, igualación, reducción, determinantes)

Pero para este caso en particular, yo prefiero hacerlo de cierta manera que a mí me resulta más sencilla. Pero eso es porque yo, personalmente, me doy cuenta a priori de que de cierta manera se puede resolver muy fácilmente, sin seguir los pasos predeterminados de ningún método de los conocidos. Quizás otra persona que no puede vislumbrar ese camino, prefiera seguir pasos establecidos que llevan a un destino seguro. Como no es el tema aquí explicar métodos de resolución de sistemas de ecuaciones de 3x3, yo lo voy a hacer a mi manera. Pero si conoces los métodos quizás te sea más fácil seguir uno de ellos que entender lo que yo hice.

Yo, viendo el sistema me doy cuenta de que las 2 primeras ecuaciones son casi iguales. Si las resto, me van a desaparecer dos de las incógnitas (la D y la F), y entonces quedará una sola: la E. Así ya puedo hallar el valor de E. Es lo que se hace en el método de "Reducción":

   2 + D + E + F = 0
-
   2 + D - E + F = 0
---------------------
            2E       = 0

E = 0:2

E = 0

Luego, si reemplazo la E por 0 en cualquiera de las dos primeras ecuaciones, me queda una ecuación con solo 2 incógnitas: D y F. Pero la última ecuación también tiene solamente esas 2 incógnitas. Entonces: 2 ecuaciones con 2 incógnitas, se puede resolver el sistema de 2x2. Reemplazo la E de la primera ecuación:

2 + D + E + F = 0
2 + D + 0 + F = 0
2 + D + F = 0

Entonces me quedaron estas 2 ecuaciones con estas mismas 2 incógnitas:

2 + D + F = 0          (la que encontré recién)
4 + 2D + F = 0        (la tercera ecuación del sistema)

Puedo usar el método de Igualación, despejando la F:

2 + D + F = 0
F = -2 - D

4 + 2D + F = 0
F = -4 - 2D

F = F
-2 - D = -4 - 2D
-D + 2D = -4 + 2
D = -2

F = -2 - D
F = -2 -(-2)
F = -2 + 2
F = 0

Así que la solución del sistema es: D = -2; E = 0; F = 0

Entonces la ecuación general de la circunferencia que pasa por esos tres puntos A = (1,1), B = (1,-1) y C = (2,0), es:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

x² + y² + (-2).x + 0.y + 0 = 0

x² + y² - 2x = 0

Ésa es la ecuación general de la circunferencia. En el enunciado te piden "la ecuación" y no dicen en qué forma: si "general" o si "canónica". Así que vamos a poner las 2 formas en la solución, así que ya tenemos parte de la respuesta al ejercicio:

La ecuación (general) es:

x² + y² - 2x = 0


Pero también te piden hallar el centro y el radio de la circunferencia. Y en la ecuación general eso no se ve. Podríamos hallarlos de dos maneras diferentes:

1) Pasando esa ecuación general a la forma canónica, donde sí se pueden ver el centro y el radio, usando el método de "completar cuadrados", o "completar trinomios".

2) Usando unas fórmulas que involucran justamente a esos coeficientes: D, E y F (Esas fórmulas provienen de aplicarle el método de completar cuadrados a la fórmula general, pero evitan que tengas que aplicarlo tú, ya que te dan directamente los resultados del centro y el radio)

El método de completar cuadrados es complicado de explicar, y ya lo hice en otra consulta en esta misma página (pregunta de Manuel). Si quieres verlo te dejo el enlace: COMPLETAR CUADRADOS, pero ten en cuenta que es un ejemplo bastante distinto.

Así que lo voy a hacer usando las fórmulas (aunque prefiero el método porque no tengo que recordar las fórmulas, pero es más difícil hacerme entender si no lo conocen):

FÓRMULAS:

D = -2.x_c               (x_c es la coordenada "x" del centro)

E = -2.y_c               (y_c es la coordenada "y" del centro)

F = D² + E² - R²

Y como teníamos que D = -2, E = 0 y F = 0, resulta que:

D = -2.x_c
-2 = -2.x_c
-2:(-2) = x_c
1 = x_c                (La coordenada "x" del centro es igual a 1)

E = -2.y_c
0 = -2.y_c
0:(-2) = y_c
0 = y_c                (La coordenada "y" del centro es igual a 0)

Así que el centro de la circunferencia es:

C = (1,0)

Luego:

F = D² + E² - R²
0 = (-2)² + 0² - R²
R² = 4 + 0
R² = 4
R = V4 (El resultado negativo se descarta, porque el radio es un segmento)
R = 2

Así que el radio mide: R = 2

Y la ecuación canónica la podemos escribir si conocemos el centro y el radio (si hubiéramos "completado cuadrados", habríamos llegado a la fórmula canónica al final del proceso):

(x - xc)² + (y - yc)² = R²   (Forma canónica de la ecuación de la circunferencia)

Reemplazo con lo que ya conozco: Las coordenadas del centro y el radio:

(x - 1)² + (y - 0)² = 2²

(x - 1)² + y² = 4


Entonces la respuesta completa es:

Ecuación:

x² + y² - 2x = 0          (En su forma general)

(x - 1)² + y² = 4         (En su forma canónica)

Centro:  

C = (1,0)

Radio:

R = 2

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24-11-10 Pregunta de Manuel         (PASAR A LA FORMA CANÓNICA)

Hola Marce una vez mas necesito de su ayuda por ultima vez ya esta es la ultima guia que tendre que resolver espero me pueda ayudar para yo poder realizar los demas....

Los ejercicios son....

21. Hallar el área de un círculo cuya ecuación es: 9x2+9y2+72x-12y+103=0


Hola Manuel. Vamos por este ejercicio de ecuación de la circunferencia. Para encontrar el área de un círculo sólo hace falta saber su radio, ya que la fórmula para calcular el área del círculo es:

Area del círculo: Π. R²

donde R es el radio, y Π es "Pi" un número irracional muy conocido: 3,14159... etc.

La que te dan es la fórmula general de una circunferencia:

9x² + 9y² + 72x - 12y + 103 = 0

Y en esa fórmula no se puede ver el radio. Pero hay otra fórmula de la circunferencia en dónde sí se puede ver el radio, se llama: "forma canónica". Es así:

(x - x_c)² + (y - y_c)² = R²

Donde R es el radio. Y x_c e y_c son las coordenadas del centro de la circunferencia: C = (x_c,y_c).


Entonces podríamos pasar de la fórmula general a la forma canónica, y así ver cuál es el radio. Es algo análogo a lo que hicimos en el ejercicio 1 con la ecuación de la recta: pasar la ecuación de una forma a otra. 

Pero pasar de la ecuación general a la canónica en la circunferencia es más complicado que lo que hicimos con la recta. Porque esta fórmula tiene cuadrados. Se puede hacer con un procedimiento llamado "Completar cuadrados" o "Completar el trinomio". Pero también se lo puede hacer usando directamente unas fórmulas (que se deducen de aplicar ese procedimiento para cualquier circunferencia en general). Con las fórmulas se puede hallar el radio. Puede parecer más fácil, pero hay que memorizarlas y son 3. Si este procedimiento no llegas a entenderlo bien (requiere conocer bien varias temas previos), más abajo te lo muestro también resuelto con las fórmulas (si es que te permiten usarlas) (verlo resuelto con las fórmulas).


CON PROCEDIMIENTO DE COMPLETAR CUADRADOS (o Completar el trinomio):

Te voy a mostrar todos los pasos sin decirte decirte demasiado el por qué hay que hacer eso. Luego te remito a justificaciones que puedes leer al final.

1) Para empezar a completar cuadrados, si hay un número delante de la x² y la y², hay que sacarlo como se hace con el Factor común. Es decir, divido todos los términos por ese número, que este caso es 9. Si una división no dá exacta la dejo como fracción ( más explicación de cómo hacer esto en FACTOR COMÚN-EJEMPLO 9):

9x² + 9y² + 72x - 12y + 103 = 0

9.(x² + y² + 8x - 4/3y + 103/9) = 0            (4/3 viene de 12/9 que simplifiqué)


2) Ahora ordeno los términos poniendo primero todas las x y luego todas las y; dejando para el final el número que está solo:

9.(x² + 8x + y² - 4/3y + 103/9) = 0


3) Ahora voy a "completar los trinomios". Porque fijate que:

x² + 8x

se parece a un trinomio cuadrado perfecto. Pero le falta un término: "el cuadrado del segundo" (Si no entiendes eso, porque no recuerdas el tema, no importa. Sigue leyendo sólo el procedimiento y sólo recuerda lo que hay que hacer, y no prestes atención a "por qué". Pero sería mejor que repases el tema Trinomio cuadrado perfecto).

Lo que voy a hacer es "completar es trinomio". Agregarle el término que le falta. Ese término se puede hallar así:

a) Divido por 2 el número que está con la x:

8:2 = 4 

Entonces, el "segundo" que estamos buscando es 4. Al final te explico por qué hice eso, relacionado con el tema Trinomio cuadrado perfecto. No lo quiero intercalar acá para que no te desconcentre de los pasos que hay que seguir (ver la justificación de este paso).


b) Lo elevo al cuadrado:

Al primer trinomio incompleto, le tengo que agregar "el cuadrado del segundo", o sea: 4² (ver justificación de esto).

x² + 8x + 4² (Completé el trinomio)


d) Lo pongo sumando y restando:

Bueno, así sería entonces el trinomio completo. Y quiero que eso aparezca en la fórmula de la ecuación de la circunferencia (después verás para qué). Pero yo no puedo sumar cualquier número a una fórmula, porque cambiaría el resultado. Entonces, si lo sumo, tengo que también restarlo. Así que, en la fórmula de la ecuación de la circunferencia, agrego 4² sumando y 4² restando:

9.(x² + 8x + 4² - 4² + y² - 4/3 y + 103/9) = 0

Pero:

x² + 8x + 4² es igual a (x + 4)²

Ya que es un Trinomio cuadrado perfecto (lo estoy factorizando por el tercer caso). Así que:


e) Reemplazo el trinomio por el binomio al cuadrado:

Como x² + 8x + 4² = (x + 4)² 

(la "x" más el número que busqué en el paso a), todo elevado al cuadrado, por si no tienes presente cómo se factoriza un Trinomio cuadrado perfecto)

Reemplazo en la ecuación de la circunferencia, y me queda:

9.[(x + 4)² - 4² + y² - 4/3y + 103/9] = 0


LO MISMO CON LA "Y":

Y todo eso mismo tengo que hacer ahora con la "y":

y² - 4/3 y 

es el trinomio que tengo que completar. Para saber con qué número lo completo hago:

(-4/3):2 = -2/3

Elevo eso al cuadrado:

(-2/3)²


Y lo pongo sumando y restando en la ecuación de la circunferencia:

9.[(x + 4)² - 4² + y² - 4/3y + (-2/3)² - (-2/3)² + 103/9] = 0


Entonces, en esa ecuación de la circunferencia, tengo el trinomio completo:

y² - 4/3y + (-2/3)²

Que es igual a:

(y - 2/3)²

Así que lo reemplazo en la ecuación de la circunferencia:

9.[(x + 4)² - 4² + (y - 2/3)² - (-2/3)² + 103/9] = 0


4) Los pasos que siguen son para acomodar las cosas y llegar a la expresión correcta de la fórmula canónica:

a) Resuelvo los cuadrados de los números y hago la cuenta entre ellos para que quede un solo número:

9.[(x + 4)² - 16 + (y - 4/3)² - 4/9 + 103/9] = 0

9.[(x + 4)² + (y - 2/3)² - 5] = 0


b) El 9 lo paso dividiendo al otro miembro. Me sigue quedando 0, pues 0:9 = 0


(x + 4)² + (y - 2/3)² - 5 = 0:9

(x + 4)² + (y - 2/3)² - 5 = 0


c) Y paso al otro miembro al número que está solo:

(x + 4)² + (y - 2/3)² = 5            (ecuación canónica)


Listo, ésa es la ecuación canónica de esa circunferencia que nos dieron. El radio allí es:

R² = 5

Así que:

R = √5

R = 2,2 aprox.


Ahora que tengo el radio, puedo encontrar el Área:

Area = ∏.R²

Area = 3,14.(√5)²

Area = 3,14.5

Area de círculo = 15,7 (aproximado, porque PI está aproximado también)




JUSTIFICACIONES:

¿Por qué hay que "dividir por 2"?:

Recuerda de dónde viene un Trinomio cuadrado perfecto:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Como en la ecuación de la circunferencia tenemos la "x", el primer término sería "x", así que es:

(x + b)² = x² + 2xb + b²

Ves como:

x² + 2xb

es la "parte del trinomio" que tenemos en la ecuación de la circunferencia:

x² + 8x

Donde la x² se corresponde con la x² por supuesto. Y el 8x se corresponde con el 2xb (esto es lo interesante). Y para completar ese trinomio cuadrado perfecto falta b². Pero a "b" lo podemos calcular, ya que si 8x es 2xb, podemos plantear:

2xb = 8x

Y como podemos simplificar la x, queda:

2b = 8
b = 8:2
b = 4

Esa es la razón por la que "dividí por 2". Ves como, usando el razonamiento y planteando la ecuación llego siempre a la situación de que al fin de cuentas ese número se puede encontrar diviendo por 2 al número que está multiplicando a la x (o a la "y" para el otro trinomio)


Luego, el último término del trinomio es b². Así que para completar el trinomio tengo que sumarle 4²:

x² + 8x + 4²

Ahí tengo el trinomio completo. Y ahora se puede factorizar con el Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto:

x² + 8x + 4² = (x + 4)²

Que es a lo que quería llegar, pues así tiene la forma que tiene que tener en la ecuación canónica de la circunferencia.


ENCONTRAR EL RADIO MEDIANTE FÓRMULAS:

Dada la ecuación general de la circunferencia:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Las coordenadas del centro se pueden calcular con estas fórmulas:

D = -2x_c

E = -2y_c

Y el radio, con esta otra:

F = x_c² + y_c² - R²

Primero calculas x_c e y_c con las dos primeras fórmulas, y luego los reemplazas en la tercera, y despejas el radio. Pero primero hay que sacar el 9 de delante de la "x²" y la "y²", sino no sirven las fórmulas. Como ya te mostré en el otro procedimiento, se dividen todos los términos por 9:

9.(x² + y² + 8x - 4/3y + 103/9) = 0

Y se puede pasar el 9 dividiendo, para darse cuenta que todo lo demás también es igual a cero:

x² + y² + 8x - 4/3y + 103/9 = 0:9

x² + y² + 8x - 4/3y + 103/9 = 0

En esa fórmula: 

D = 8
E = -4/3
F = 103/9

Así que:

D = -2x_c
8 = -2x_c
8/(-2) = x_c
-4 = x_c

E = -2y_c
-4/3 = -2y_c
(-4/3):(-2) = y_c
2/3 = y_c

F = x_c² + y_c² - R²

103/9 = (-4)² + (2/3)² - R²

103/9 = 16 + 4/9 - R²

103/9 - 16 - 4/9 = -R²

-5 = -R²

5 = R²

 √5= R


Ves como se llega al mismo resultado.

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