RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA - FORMA GENERAL Y FORMA CANÓNICA COMPLETAR CUADRADOS - DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

05-04-11 Pregunta de pepexdios

hola yo tambien tengo de circunferencias: 
a)x2-y2-6x-6y+5=0 
b)x2+y2-6y-16=0 
c)x2+y2-6x-4y-12=0 
d)4x2+4y2+16x+7=0 
e)x2+y2=1 
f)x2+y2-9=0 

y Hallar los puntos de intersección de las circunf. y rectas: 
a) x2+y2-4x-2y+4=0 y=x-2 
b) x2+y2-22x-4y+25=0 x-2y-3=0 
c)(x-1)2+(y-2)2=8 x-y+1=0 
d)(x-2)2+(y-3)2=2 x-y-1=0 
e) x2+y2=4 -y+x-2=0

Hola pepexdios. En el primer ejercicio no dice que hacer, pero supongo que como te dá la fórmula general de la circunferencia, se trata de pasarla a la forma canónica y determinar quizás el centro y el radio. Eso se puede hacer con el método de "completar cuadrados", que ya expliqué en otras consultas y después te dejo los enlaces para que lo veas (no es muy fácil de entender, y ya lo expliqué de distintas maneras):

a) En esa fórmula hay un error, la y² no puede estar restando. Así que lo corrijo y lo pongo sumando, sino no se puede hacer:

x² + y² - 6x - 6y + 5 = 0

Hay que llevarlo a la forma canónica:

(x - x_c)² + (y - y_c)² = R²

Donde x_c e y_c son las coordenadas del centro, y R es el radio.

En la forma canónica hay dos binomios al cuadrado, uno con "x" y el otro con "y". Entonces tenemos que buscar en la fórmula general trinomios cuadrados perfectos con "x" y con "y", para factorizarlos y que queden binomios. Para entender esto último que te dije, se necesita tener claro ciertos temas previos. Pero si no lo entiendes no importa: igual puedes "completar cuadrados", aunque no termines de entender bien por qué se hace. Sólo tienes que seguir los pasos y podrás hacerlo igual.

Primero voy a cambiar el orden de los términos, para poner juntas las "x" por un lado y las "y" por otro:

x² - 6x + y² - 6y + 5 = 0

Si entiendes lo que es un trinomio cuadrado perfecto, verás que allí se pueden ver dos trinomios incompletos: x² - 6x es uno, y y² - 6y es el otro. Para poder factorizarlos como binomios al cuadrado hay que "completarlos", esto es: agregarles el término que les falta. ¿Y cómo podemos saber cuál es el término que les falta?

x² - 6x + ?

y² - 6y + ?

Vamos con el primero: Para calcular el término que le falta hay que tomar el coeficiente de x, que es -6, y dividirlo por 2:

-6:2 = -3

Y lo que hay que agregarle es ese 3 elevado al cuadrado, así el trinomio es:

x² - 6x + (-3)2

Ése es un trinomio cuadrado perfecto, que se puede factorizar como binomio al cuadrado. Si no entiendes sobre eso, sólo recuerda por ahora: "hay que dividir por 2 al número que está con la x".

Vamos con el segundo. El número que multiplica a la "y" es 6, así que también:

-6:2 = -3

Lo que hay que agregar es 3 elevado al cuadrado:

y² - 6y + (-3)²            (eran iguales los trinomios, es un caso particular)

Ahora que sabemos con qué completar los trinomios, volvamos a la ecuación, y agreguemoslo sumando esos términos ((-3)² y (-3)2). Pero no podemos sumar algo sin restarlo, porque sino cambiaría el valor de la expresión. Así que los sumamos, pero también los restamos. Así:

x² - 6y + (-3)² - (-3)² + y2 - 6y + (-3)² - (-3)² + 5 = 0

Ahora para remarcar voy a poner los trinomios entre paréntesis (asociar):

(x² - 6x + (-3)²) - 9 + (y² - 6y + (-3)²) - 9 + 5 = 0

Luego, esos trinomios cuadrado perfectos que armamos se factorizan así:

(x² - 6x + (-3)²) - 9 + (y² - 6y + (-3)²) - 9 + 5 = 0
 x                 -3                 y                  -3
       2.x.(-3)                           2.y.(-3)
         -6x                                 -6y

(x - 3)² - 9 + (y - 3)² - 9 + 5 = 0

(Y si no recuerdas cómo factorizar, puedes recordar que lo que tienes que hacer es poner "x más..." o "x menos..." el valor del número ese que agregamos al cuadrado. Y lo mismo con la y. Lo de "más" o "menos" depende del signo que tenga el coeficiente de "x" y de "y" en cada caso.

Ahora podemos hacer la cuenta entre esos números que quedaron sueltos:

(x - 3)² + (y - 3)² - 13 = 0

(x - 3)² + (y - 3)² = 13

Así llegamos a la ecuación canónica. Y allí se puede ver que el centro es:

C = (3,3)

 (las coordenadas del centro son los números que están restando a la "x" y a la "y" en la fórmula canónica)

Y el radio:

R² = 13

R = V13


b) x² + y2 - 6y - 16 = 0

Este ejemplo es un caso particular donde falta el término con x. Tienes que pensar entonces que el coeficiente de x es cero. Porque esa ecuación es igual a ésta:

x² + 0x + y² - 6y - 16 = 0

Puedes seguir todo el procedimiento que te expliqué antes, usando el cero como si fuera cualquier otro número. O también puedes no completar el trinomio con x, porque en realidad no hace falta, ya que:

x² = (x - 0)²

Entonces, ya lo tienes factorizado. Solamente tienes que completar el trinomio en y:

x² + y² - 6y + (-3)² - (-3)² - 16 = 0

(x - 0)² + (y - 3)² - 9 - 16 = 0

(x - 0)² + (y - 3)² - 25 = 0

(x - 0)² + (y - 3)² = 25

El centro es:

C = (0,3)

Y el radio:

R² = 25

R = V25

R = 5

Incluso, si ya recuerdas para la próxima vez que falte el término con x (o con y), que no hace falta ni escribirlo como un binomio al cuadrado. Puedes dejarlo directamente así:

x² + (y - 3)² = 25

Y de ahí se deduce que la coordenada "x" del centro es "0", porque no hay nada restando a la "x" (y entonces es porque hay un cero restando).


c) x² + y² - 6x - 4y - 12 = 0 

Éste no tiene nada de particular, es como el primero, así que intentá hacerlo vos.


d) 4x² + 4y² + 16x + 7 = 0

En ésta tienes un 4 multiplicando a la y² y a la x². Éso hay que eliminarlo, así que lo primero que haces es dividir todos los términos por 4 (sacar "factor común 4"):

4.(x² + y² + 4x + 7/4) = 0

Luego pasamos el 4 al otro miembro, para que "desaparezca":

x²+ y² + 16x + 7 = 0:4

x² + y² + 16x + 7 = 0

Y le falta el término con y. Es como el ejercicio b) que te expliqué, pero con la "y" en vez de la "x". Lo podés intentar hacer vos a partir de allí, cualquier cosa me preguntas.


e) x² + y² = 1

Éste es un caso particular donde falta el término con "x" y el término con "y". La verdad es que ésa no es la ecuación general, porque el "1" debería estar en el primer miembro restando, y debería haber sólo un cero en el segundo miembro. Ésa ecuación es canónica, aunque por ser un caso particular no se distingue muy bien, ya que no hay nada restando a la x ni a y. Pero en realidad, como en el ejemplo b) que te expliqué, hay un cero. Esa ecuación se puede escribir también así:

(x - 0)² + (y - 0)² = 1

Y ahí está más claro que es canónica. El centro es:

C = (0,0)

Y el radio:

R² = 1

R = V1

R = 1


f) x² + y² - 9 = 0

Ésta sí es general, porque el 9 está en el primer miembro y sólo hay un cero en el segundo. En el resto, es igual al ejercicio anterior, sólo hay que pasar el 9 al otro miembro:

x² + y² = 9

Que es lo mismo que:

(x - 0)² + (y - 0)² = 9

Así que el centro es:

C = (0,0)

Y el radio:

R² = 9

R = V9

R = 3


Hallar los puntos de intersección de las circunferencias y las rectas: 

a) x² + y² - 4x - 2y + 4 = 0             y = x - 2

Para buscar los puntos de intersección entre dos ecuaciones, hay que formar un sistema de ecuaciones con ellas y resolverlo.

x² + y² - 4x - 2y + 4 = 0

y = x - 2

Lo podemos resolver por el método de Sustitución, reemplazando las "y" de la primera ecuación por "x - 2" (que es igual a "y"):

x² + (x - 2)2 - 4x - 2.(x - 2) + 4 = 0

Quedó una ecuación con "x" como única incógnita, así que podemos hallar el o los valores de x:

x² + x² - 4x + 4 - 4x - 2x + 4 + 4 = 0

2x² - 10x + 12 = 0

Quedó una ecuación cuadrática completa, y voy a usar la fórmula resolvente para resolverla:

x_1,2 =

          -(-10) +- V(-10)² - 4.2.12
x_1,2 = ---------------------------
                         2.2

           10 +- V100 - 96
x_1,2 = ----------------
                    4

           10 +- V4
x_1,2 = ------------
                 4

            10 +- 2
x_1,2 = ------------
                 4

x₁ = (10 + 2)/4 = 12/4 = 3

x₂ = (10 - 2)/4 = 8/4 = 2

Y ahora calculo la "y" que corresponde a cada una de esas "x". Voy a usar la fórmula de la recta porque es mucho más fácil:

y = x - 2

y₁ = x₁ - 2

y₁ = 3 - 2

y₁ = 1


y₂ = x₂ - 2

y₂ = 2 - 2

y₂ = 0

Las soluciones del sistema son:

(x₁,y₁) = (3,1)

(x₂,y₂) = (2,0)

Y ésos son entonces los puntos donde se cortan la circunferencia y la recta.

Los otros puntos se hacen de la misma manera. Si la "y" de la recta no está despejada, la vas a tener que despejar para sustituir (o también puedes despejar la "x", es lo mismo, espero que conozcas el método de sustitución). Cualquier duda me preguntas.

Puedes ver más ejemplos y explicaciones sobre completar cuadrados en los siguientes enlaces:

COMPLETAR TRINOMIOS

¿POR QUÉ HAY QUE DIVIDIR POR 2?

MÁS SOBRE COMPLETAR CUADRADOS (PARÁBOLA)

Y en la respuesta que sigue aquí abajo en esta misma página puedes ver también otros ejemplos con números delante de la x² y la y², como el punto d) de tu primer ejercicio.