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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: NÚMEROS COMPLEJOS

18-02-11 Pregunta de jofigon        (FORMA POLAR Y TRIGONOMETRICA)

Cómo expreso en forma polar y trigonométrica los complejos z=-6 y z=100?. Saludos y gracias.


Hola de nuevo jofigon. Para expresar un número complejo en forma polar y en forma trigonométrica, necesitas el módulo y el ángulo que forma el vector con el semieje positivo de las x. ¿Conoces la fórmulas?:

Dado un número complejo:

z = a + bi

|z| = √a2 + b2                   (módulo de z)

A = arcotangente (b/a)        (ángulo o  argumento)

Los números complejos de tu ejercicio son casos particulares, en los que la parte imaginaria es igual a cero, porque no tienen parte imaginaria (no tienen término con i): son números reales. Así que en ambos ejemplos resulta ser b = 0.

z = -6

z = -6 + 0i

z = 100

z = 1000 + 0i

De todos modos, el módulo lo puedes obtener aplicando la fórmula del módulo, teniendo en cuenta que b = 0:

|z| = √a2 + b2 = √(-6)2 + 02 = √36 = 6

Pero si lo piensas un poco ni hace falta. Porque si sabes graficar números complejos, verás que al graficar z = -6 obtienes el vector que comienza en el (0,0) y termina en el (-6,0) (punto -6 sobre el eje x). La medida de ese vector horizontal es 6, y el módulo es éso: la medida del vector que representa al número complejo.



Y para hallar el ángulo también te conviene pensarlo desde el gráfico. Porque sabrás que si buscas el arcotangente con la calculadora, no siempre te dá el ángulo en el cuadrante correcto (el cuadrante donde cae el número complejo), y tienes que deducirlo. Eso es bastante molesto, y en un caso particular como éste eso se puede evitar, ya que en el gráfico se puede ver que el ángulo que forma el vector con el eje x positivo es de 180°.

Luego, ya tenemos que el módulo es 6 y el argumento 180°, vamos a pasar z = -6 a las formas polar y trigonométrica:

forma polar: z = (|z|,A). Así que

z = (6,180°)                              Forma polar

forma trigonométrica: z = |z|.(cosA + isenA). Así que:

z = |6|.(cos180° + isen180°)        Forma trigonométrica

Nota: He encontrado que algunos llaman forma polar o trigonómetrica a |z|.(cosA + isenA). Es decir, que forma polar y forma trigonométrica sería lo mismo en ese caso: |z|.(cosA + isenA).

El otro ejercicio te lo dejo a tí. Lo único que te ayudo un poco por si no te das cuenta: el ángulo es de 0°, porque el vector queda sobre el semieje positivo de las x, es decir: no forma ningún ángulo, es un ángulo nulo, que mide 0°.





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