RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: CUERPOS - VOLÚMENES Y ÁREAS - EL CONO

08-03-11 Pregunta de orquidea

hola. quiero que alguien me allude a ces este ejercicio;un cono de 4 metros de radio y 6 metro de altura ¿cual es su resultado?

Hola orquidea. No sé si te piden el volumen de ese cono, o su área lateral o su área total. Empecemos por el volumen:

VOLUMEN DEL CONO:

Se puede calcular el volumen de un cono multiplicando el área de su base (que es un círculo), por la altura del cono; y luego diviendo por 3:

Volumen del cono: (Área de la base x Altura)/3

Pero como la base del cono es un círculo, y el área del círculo es:

Área del círculo: ∏.r²        ("Pi por radio elevado al cuadrado")

se puede usar directamente la fórmula:

Volumen del cono: (∏.r².h)/3

("Pi por radio al cuadrado, por la altura; dividido 3")

Como te dan el radio y la altura, se trata simplemente de reemplazar con los datos en esa fórmula:

Volumen del cono: (∏.(4m)².6m)/3 = (3,14.16m².6m)/3 = 100,48 m³


ÁREA LATERAL DEL CONO:

El área lateral se calcula con esta fórmula:

Área lateral del cono: ∏.r.g              ("Pi por radio por generatriz")

La generatriz es la medida de un segmento que va desde la punta del cono hacia un punto de la circunferencia de la base. La puedes ver en el siguiente dibujo, en color rojo:



Allí se ve que la generatriz con la altura y el radio forman un triángulo rectángulo, y que en ese triángulo la generatriz es la hipotenusa (el lado que está enfrente del ángulo recto). Entonces podemos usar el Teorema de Pitágoras para calcular cuánto mide la generatriz, porque conocemos la altura y el radio:

Por el Teorema de Pitágoras:

Hipotenusa² = cateto² + cateto²

g² = h² + r²                    (g = generatriz, h = altura, r = radio)

g² = (6m)² + (4m)²

g² = 36m² + 16m²

g² = 52m²

g = V52m²

g = 7,21 m       (aproximadamente)

Y ahora tenemos lo necesario para usar la fórmula de área lateral:

Área lateral del cono: ∏.r.g = 3,14.4m.7,21m = 90,56 m²        (aprox.)


Cabe aclarar que si uno no quiere saber nada con la generatriz, se puede usar esta otra fórmula para el área lateral del cono, para la cual no hace falta conocer la medida de la genetriz:

Área lateral del cono: ∏.r.(Vr² + h²)

Esa fórmula proviene justamente de reemplazar "g" por su equivalente "Vr² + h²" según el Teorema de Pitágoras. Entonces para usarla sólo se necesita conocer el radio y la altura. Pero es una fórmula más difícil de recordar.


ÁREA TOTAL DEL CONO:

El área total es igual al área lateral sumada al área de la base del cono (que es un círculo). Se pueden calcular ambas cosas por separado y sumarlas, o usar esta fórmula:

Área total del cono: ∏.r.g + ∏.r²

o en su otra forma (que proviene de sacar factor común "∏.r"):

Área total del cono: ∏.r.(g + r)

Voy a usar esta última:

Área total del cono: ∏.r.(g + r) = 3,14.4m.(7,21m + 4m) = 140,8 m²     (aprox.)


Y si no se quiere usar la generatriz, las fórmulas serían así:

Área total del cono: ∏.r.(Vr² + h²) + ∏.r²

o sacando factor común ∏.r:

Área total del cono: ∏.r.(Vr² + h² + r)