TEMA: CUADRILÁTEROS 

10-04-11 Pregunta de SILVIA                    (ROMBO)

QUISIERA QUE ME AYUDES A RESOLVER ESTE PROBLEMA DE GEOMETRIA Y SI TENES OTROS EJEMPLOS QUE ME LOS MANDES A MI CORREO PARA QUE YO PRACTIQUE.GRACIAS POR TODO.PROBLEMA:AVERIGUAR LA SUPERFICIE DE ROMBO,SABIENDO QUE SU PERIMETRO ES DE 144CM.Y SU DIAGONAL MAYOR ES EL CUADRUPLE DE LA MENOR MENOS 1.

Hola SILVIA.

Para calcular la superficie del rombo necesitamos conocer la medida de sus diagonales, porque la fórmula es:

Superficie del rombo = (D.d)/2

Siendo "D" y "d" las diagonales.

Y para calcular las diagonales podemos seguir el siguiente camino:

Como el rombo tiene los 4 lados iguales, conociendo el perímetro se puede calcular el lado:

Perímetro del rombo: 4.L

144 cm = 4.L

144 cm / 4 = L

36 cm = L

Ahora hablemos de las diagonales. Las diagonales del rombo son perpendiculares, así que dividen al rombo en cuatro triángulos rectángulos. Y se cortan en su punto medio, ya que el rombo es un paralelogramo. Si tomamos uno de ellos (ver dibujo) tenemos que:




La hipotenusa es el lado del rombo

Los catetos son mitades de las diagonales. Uno es mitad de la diagonal mayor, y el otro de la diagonal menor.

Así que ese triangulito nos va a servir para hallar las diagonales, usando el Teorema de Pitágoras.

El enunciado del problema nos dá una relación entre las diagonales:

"La diagonal mayor mide el cuádruple de la menor, menos 1"

Es decir que, si por ejemplo llamamos "d" a la diagonal menor, y "D" a la mayor, se cumple que:

D = 4.d - 1

Así que a la diagonal D la podemos llamar "4d - 1". Y así tenemos que las diagonales miden:

La diagonal mayor: 4d - 1
La diagonal menor: d

Es decir, tenemos las dos diagonales "en función de "d" ".

Y como los catetos son mitades de esas diagonales, podemos decir que:

cateto mayor: D/2 = (4d - 1)/2

cateto menor: d/2

Y como conocemos la hipotenusa, que es el lado del rombo:

hipotenusa = 36

podemos plantear el teorema de Pitágoras para hallar "d":

Hipotenusa² = cateto² + cateto²

36² = (d/2)² + [(4d - 1)/2]²

1296 = d²/4 + (16d² - 8d + 1)/4

1296 = (1/4)d² + 4d² - 2d + 1/4

0 = (17/4)d² - 2d + 1/4 - 1296

0 = (17/4)d² - 2d - 5183/4

Para calcular "d" me quedó una ecuación cuadrática. Y las raíces son números bastante feos (raices irracionales, porque la raiz cuadrada no dá exacta), pero números al fin. 

d₁ = 17,7       (aprox.)

d₂ = -17,2      (aprox.)

Pero como un lado no puede tener medida negativa, la segunda solución no es válida. Así que tenemos que la diagonal menor mide:

d = 17,7 cm

Y la diagonal mayor mide:

D = 4.d - 1 = 4.17,7 - 1 = 69,8 cm

Entonces ya se puede calcular la superficie:

Superficie del rombo = (D.d)/2 = (17,7cm.69,8cm)/2 = 617,73 cm²


(Nota: "Y SU DIAGONAL MAYOR ES EL CUADRUPLE DE LA MENOR MENOS 1" también se podría interpretar como:

D = 4.(d - 1)

Y se podría pensar que para interpretarlo como hice yo tendría que haber una "coma" después de "menor":

"el cuádruple de la menor, menos 1"

Pero te digo que en general lo que veo es que no le ponen la coma y el problema se interpreta como si la tuviera. He visto muchos problemas así en los que se presenta esta ambiguedad en el enunciado, y por las respuestas que ya traen se interpretan como si hubiera coma, así que yo lo tomé así. Lo hice también de la otra forma y no dió tampoco con una raíz exacta. En un caso así yo le preguntaría al profesor cómo quiere que lo interprete. También podría ser que te olvidaras de la coma al copiar el problema, por eso le dí la interpretación que me pareció más común (que veo con más frecuencia) )