TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA - PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

08-05-11 Pregunta de Carlos

Hola,necesito ayuda para resolver este problema ya que no le entiendo mucho y no se como resolverlo,el problema dice: 

Se pretende fabricar una lata de conservas cilíndrica con tapa de 1 litro de capacidad,cuales deben de ser sus dimensiones para que el mínimo de de metal posible. 

Agradezco que me puedan ayudar

Hola Carlos. Es un problema de "optimización". Es para buscar el máximo o mínimo de una función. Pero primero hay que encontrar la fórmula de una función que relacione las variables según lo que dice el enunciado.

El enunciado relaciona las dimensiones de la lata con la cantidad de metal que hay que usar para fabricarla. Y dice que la lata debe tener 1 litro de capacidad. Es decir, su volumen debe ser 1 litro. Recordemos cómo se calcula el volumen de un cilindro:

VOLUMEN DEL CILINDRO: ∏.R².H

("Pi, por el radio de la base elevado al cuadrado, por la altura del cilindro")

Pero si queremos saber la cantidad de metal que hay que usar para fabricarla, debemos calcular la superficie de la lata. La superficie total de un cilindro se puede calcular así:

SUPERFICIE TOTAL DEL CILINDRO: 2.(∏.R²)+ (2∏.R).H

(La superficie de las dos bases circulares + la superficie del rectángulo de contorno. Porque si le haces un corte vertical a un cilindro y lo abres, el contorno es un rectángulo, la base del rectángulo mide el perímetro de la circunferencia de la base, y la altura del rectángulo es la altura del cilindro. No me explayo más sobre eso porque eso se supone ya sabido y el ejercicio ya de por sí es largo por otras cosas)

Como se pide utilizar el mínimo posible de material, hay que buscar el mínimo de la función "superficie total". Ahora fíjate que, en la fórmula de la superficie, tenemos dos variables: el radio y la altura. Y necesitaríamos que hubiera una sola:

S (R,H) = 2∏.R² + 2∏.R.H

Para que la función sirva para calcular la superficie conociendo el radio solamente, o la altura solamente. Pero para eliminar una de las variables podemos usar el primer dato que dá el problema. el volumen de la lata:

Volumen del cilindro: ∏.R².H

Como el volumen en 1 litro:

1 = ∏.R².H

Y allí despejo la altura H, que está más fácil porque no tiene cuadrado:

1/(∏.R²) = H

Así tengo H "en función de R", entonces puedo reemplazar la H en la fórmula de superficie:

Superficie = 2∏.R² + 2∏.R.(1/(PI.R²))

Y en el segundo término puedo simplificar PI con PI, y R con R2:

                                     1
S (R) = 2∏.R² + 2∏.R. ---------
                                   ∏.R²

                                     1
S (R) = 2∏.R² + 2∏.R. ---------
                                   ∏.R²

S(R) = 2∏R² + 2/R         (CANTIDAD DE METAL EN FUNCIÓN DEL RADIO)

Así que ya tenemos la función de la que hay que buscar el mínimo. Pero prefiero llamar a las variables a "x" e f(x), como estamos más acostumbrados a ver las funciones:

f(x) = 2∏x² + 2/x

Y para hallar el mínimo de una función hay que buscar su derivada. Porque los máximos y mínimos pueden estar donde la derivada valga cero. También hay otros lugares donde puede estar, pero en una función como ésta no. Derivo f(x):

f´(x) = 4∏x - 2/x²          (DERIVADA)

(Me imagino que sabes derivar. Sino, ya es otro tema a consultar esa derivada)

Los "extremos" (máximos o mínimos de la función), pueden estar donde:

f´(x) = 0

Así que tenemos que hallar las "x" que cumplan que:

4∏x - 2/x² = 0              (ECUACIÓN PARA HALLAR EXTREMOS)

Ésa es una ecuación racional. Y ya aclaremos que x² ≠ 0, entonces x ≠ 0, porque x² es un denominador y no puede ser igual a cero. Luego se puede resolver así:

4∏x.x² - 2
------------- = 0
       x²

4∏x³ - 2 
---------- = 0
      x²

4∏x³ - 2 = 0

(Una fracción es igual a cero cuando su numerador es igual a cero. El denominador no puede ser cero)

4∏x³ = 0 + 2

4∏x³ = 2

x³ = 2/(4∏)

x³ = 1/2∏

x = ³V(1/2∏)

x = 1/³V2∏

Pero como hablamos de dimensiones de objetos, es mejor trabajar con decimales aproximados que con expresiones. Así que considero ∏ = 3,14 y calculo el valor aproximado:

x = 0,4

Luego, para saber si es un máximo o un mínimo podemos analizar la positividad de la función derivada en los intervalos anterior y posterior a x = 0,4, o usar el criterio de la segunda derivada. Como es más rápido, prefiero usar el criterio de la segunda derivada:

f´(x) = 4∏x - 2/x²

f´´(x) = 4∏ + 4/x³

La aplico en x = 0,4:

f´´(0,4) = 4.3,14 + 4/(0,4)³ = 12,56 + 4/0,064 = 75,06 > 0 

Como la derivada en 0,4 es positiva, la concavidad de la función allí es hacia arriba (U), por lo tanto la función tiene un mínimo en 0,4:

f(x) tiene un mínimo en x = 0,4

Como había denominado con la variable "x" al radio de la base del cilindro, lo que averigué es que, para que gastar el menor material posible, el radio de la base de la lata debe ser:

RADIO DE LA BASE = 0,4

Pero el problema pide "las dimensiones", y la otra dimensión es la altura. Así que la calculamos, con la fórmula que la relaciona con el Radio, la cual dedujimos arriba a partir del dato del volumen de la lata:

1/(∏.R²) = H

1/(3,14.(0,4)²) = H

2 = H

ALTURA DEL CILINDRO = 2


RESPUESTA: Las dimensiones del cilindro deben ser:

RADIO = 0,4 dm

ALTURA = 2 dm

¿Y por qué deben ser "dm"?

Porque las unidades que se usan en Volumen (o Capacidad) son litro, ml, etc., y también dm³, cm³, etc., habiendo equivalencias entre las de un tipo y el otro:

1 dm³ = 1 litro

1 cm³ = 1 ml

1 m³ = 1 kl

etc.

Y el problema dice que la capacidad de la lata es 1 litro, lo que es igual a 1dm³. Entonces, para que el volumen nos dé en dm³ (que es la unidad equivalente a litro), el radio y la altura deben estar en dm³. Y para que se entienda mejor vamos a calcular el volumen:

V = ∏.R².H

V = 3,14.(0,4dm)². 2dm = 3,14 . 0,16dm².2dm = 1 dm³ = 1 litro

Allí se ve cómo, al aplicar la fórmula de volumen y multiplicar las unidades:

(dm)² = dm²

dm².dm = dm³

el resultado queda en dm³. Y queremos que quede en dm³ porque tiene que dar 1 litro que es igual a dm³. Entonces, la unidad que debemos ponerle al radio y la altura es "dm".

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08-01-11 Pregunta de madelaine7

Que pena molestarte tanto pero es para examen de grado. 

1) Si los manzanos se plantan con una densidad de 30 por acre, el valor de la cosecha producida por árbol es de $180. Por cada árbol adicional que se planta en un acre, el valor de la cosecha disminuye en $3. ¿Cuál es el número de árboles que deben plantarse por acre o con objeto de obtener el valor máximo de la cosecha? 

Hola madelaine7. Es un problema de optimización. Tienes que encontrar la fórmula de una función que describa la situación de la que habla el enunciado, y luego encontrar el máximo de la función. A veces encontrar esa fórmula es lo más difícil, ya que requiere de ingenio y/o práctica. Te muestro más o menos cómo lo pensé para descubrir la fórmula:

El problema dice que si se plantan 30 manzanos por acre, se gana por cada árbol 180$. Así que en un principio (si se plantan de 30 árboles por acre), la ganancia será:

Ganancia total por la cosecha = 180$ x número total de manzanos

Pero eso es si se plantan 30 manzanos por acre. Si se plantan más de 30, la ganancia será distinta: por cada árbol más que se plante por acre, la ganancia disminuye en 3$. Tratemos de poner eso en fórmulas:

"por cada árbol más que los 30 iniciales": 30 + x

"la ganancia por árbol disminuye en 3$": 180$ - 3$.x

Siendo "x" ese número adicional de árboles por encima de 30. La segunda fórmula puede ser la menos evidente, pero probemos si sirve:

Si no se planta ningún árbol adicional (x = 0):

180$ - 3.0 = 180$ ---- > Se ganan 180$         (bien, así dice el enunciado)

Si se plantan un 31 árboles por acre, o sea: uno más que los 30 iniciales (x = 1):

180$ - 3$.1 = 177$                (disminuyó en 3$, lo que decía el enunciado)

Si se plantan 32 árboles por acre, o sea: dos más que los 30 iniciales (x = 2):

180$ - 3$.2 = 174$

Así vemos que esa fórmula sí me dá la ganancia por árbol que se le agregue a los 30 iniciales.

Ahora, como la ganancia total es igual a la cantidad que se produjo multiplicada por lo que se gana por cada uno:

ganancia total = cantidad total de árboles producida x ganancia por cada árbol

la fórmula que me dá esa ganancia total es:

ganancia total = (30 + x).(180 - 3x)

Probemos la fórmula para varios valores:

f(x) = (30 + x).(180 - 3x)

Si se plantan 30 árboles por acre (x = 0, no hay adicional)

f(0) = (30 + 0).(180 - 3.0) = 30.180 (cantidad de árboles x ganancia por árbol)

Si se plantan 31 árboles por acre (x = 1, el adicional es 1 árbol):

f(1) = (30 + 1).(180 - 3.1) = 31.(180 - 3) = 31.177 (cantidad de árboles x ganancia por árbol, que ahora es 3$ menos)

f(2) = (30 + 2).(180 - 3.2) = 32.(180 - 6) = 32.174 (cantidad de árboles x gananacia por árbol, que ahora es 6$: 3$ por cada árbol más que los 30 iniciales)

etc.

Vemos que la fórmula sirve para describir la situación.

Y una vez que tenemos la fórmula de la función, hay que buscar el máximo para responder lo que pide el problema. Pero primero voy a aplicar la Propiedad distributiva, para que la fórmula sea más fácil de derivar:

f(x) = (30 + x).(180 - 3x)

f(x) = 540 - 90x + 180x - 3x²

f(x) = 540 + 90x - 3x²

Para buscar los máximos o mínimos de una función, hay que derivarla, ya que una función puede tener máximos o mínimos en donde la derivada vale 0:

f´(x) = 90 - 6x

90 - 6x = 0

90 = 6x

90:6 = x

15 = x

La función puede tener un máximo en x = 15. Pero para confirmarlo hay que ver si la función en ese punto pasa de ser creciente a decreciente (tiene que ser así para que el punto sea un máximo). Eso se puede hacer de dos maneras:

1) Analizando los intervalos a la izquierda y derecha de x = 15, a ver si la función es creciente a la izquierda y decreciente a la derecha.

2) Por el criterio de la segunda derivada.

Lo voy a hacer de las dos maneras, porque no sé cómo lo viste:

1) Para analizar los intervalos aledaños a x = 15, pruebo la derivada en un valor menor a 15 y en uno mayor a 15. Porque si la derivada de una función es positiva en un intervalo, la función es creciente allí. Y si la derivada es negativa, la función es decreciente allí. 

f´(x) = 90 - 6x

Pruebo en el intervalo (-∞;15), con un número menor que 15, por ejemplo x = 0

f´(0) = 90 - 6.0 = 90 > 0

La derivada es mayor que cero, la función es creciente en ese intervalo.

Pruebo en el intervalo (15;+∞), con un número mayor que 30, por ejemplo x = 20

f´(20) = 90 - 6.20 = 90 - 120 = -30 < 0

La derivada es menor que cero allí, entonces la función es decreciente en ese intervalo.

Como la función es creciente a la izquierda de x = 15 y decreciente a su derecha, se puede decir que la función tiene un máximo en x = 15.


2) La segunda derivada de la función es:

f´(x) = 90 - 6x
f´´(x) = -6

Si la aplico en x = 15:

f´´(15) = -6 < 0

La segunda derivada en x = 15 es negativa, entonces la función tiene un máximo en x = 15.


Y ahora la respuesta:

"x" era el número adicional de árboles, más allá de los 30 iniciales que se plantaban por acre. Y la pregunta era: "¿Cuál es el número de árboles que deben plantarse por acre con objeto de obtener el valor máximo de la cosecha?". Como por acre se plantan 30 + x, y vimos que el máximo de la función estaba en
x = 15, el número de árboles por acre que deben plantarse son:

x + 30 = 15 + 30 = 45

Respuesta: Se deben plantar 45 árboles por acre.

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