TEMA: ECUACIONES CUADRÁTICAS

08-05-11 Pregunta de hector      (EC. CUADRÁTICAS CON DENOMINADORES)

Cómo puedo resolver esta operación de ecuación racional?

x + 2      x² - 4          x² + 2
------- - -------- = 2 - ---------
   4           3                  6

desde ya, muchas gracias

Hola hector. Es una ecuación, porque tiene dos miembros (es una igualdad de dos expresiones), así que el objetivo es hallar el o los valores de x que cumplen con esa igualdad. Y los denominadores son números, no hay letras. 

En el primer miembro puedes buscar el denominador común entre los números, como cuando sumas/restas fracciones numéricas, y seguir el mismo procedimiento (sumar/restar fracciones numéricas). En el segundo miembro tienes un término que es un número entero (el 2), pero un número entero equivale a una fracción con denominador 1. Así que también puedes restar el número entero menos la fracción. Así:

x + 2       x² - 4    2        x² + 2
------ - ------- = --  - --------
   4           3        1           6


3.(x + 2) - 4.(x² - 4)      2.6 - (x² + 2)
-------------------- =  -------------
            12                           6

Y hacemos operaciones en los numeradores para que quede más sencillo:

3x + 6 - 4x² + 16     12 - x² - 2
----------------- = --------------
            12                       6

3x - 4x² + 22      10 - x²
------------- = --------
       12                 6

Y se puede seguir de varias maneras:

- Podrías pasar todo al primer miembro y que quede cero en el otro, y luego sumar las dos fracciones
- Podrías usar la Propiedad fundamental de las proporciones (porque te quedó una proporción)
- Podrías buscar denominador común entre ambos miembros, modificar como corresponde el o los numeradores, y luego cancelar los denominadores.

(Esos son tres métodos con los que se pueden resolver ecuaciones con denominadores. En la página hay una explicación sobre eso, pero para ecuaciones con la incógnita en el denominador. Puedes ver algo más sobre eso aquí: ECUACIONES RACIONALES - MÉTODOS)

Para esta ecuación en particular me parece más práctico el segundo procedimiento. Nos quedó una proporción (igualdad de dos "razones" o fracciones), así que se puede aplicar la propiedad fundamental: "El producto de los medios es igual al producto de los extremos" (o "el producto cruzado dá igual"):

(3x - 4x² + 22).6 = 12.(10 - x²)

Luego, operamos hasta llegar a una ecuación lo más simple posible:

18x - 24x² + 132 = 120 - 12x²

18x - 24x² + 132 + 12x² - 120 = 0

18x - 12x² + 12 = 0

Y ésa es una ecuación cuadrática que se puede resolver usando la fórmula resolvente:

x_1,2 =

a = -12
b = 18
c = 12

          -18 +- V(18)² - 4.(-12).12
x_1,2 = ----------------------------
                      2.(-12)

          -18 +- V900
x_1,2 = --------------
                  -24

           -18 +- 30
x_1,2 = ------------
                -24

x₁ = (-18 + 30)/-24 = 12/-24 = -1/2

x₂ = (-18 - 30)/-24 = -48/-24 = 2

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01-04-11 Pregunta de anahi

Hola,que tal!! No entiendo como resolver a estas ecuaciones de 1°grado, si me las podria resolver.Muchas gracias.Besos!!

Hola anahi.

1 - x² - (3x + 1)/2 = -x²/4 + 5x - 3/4 x

Habría que "juntar" los términos del mismo grado: las x con las x, las x² con las x², los números con los números. Pero primero hay que "desenganchar" al 3x + 1 que está en el numerador de una fracción. Una de las formas de hacerlo es separando los dos términos del numerador en dos fracciones de denominador 2. Es aplicar la propiedad distributiva de la división con la suma:

1 - x² - (3x/2 + 1/2) = -x²/4 + 5x - 3/4x

Y ahora quitamos el paréntesis:

1 - x² - 3x/2 - 1/2 = -x²/4 + 5x - 3/4 x

Como veo que las x² no se me van a cancelar (no están en igual cantidad), ni las x tampoco, paso todo del mismo lado, y del otro queda cero. Porque es una ecuación cuadrática y la voy a resolver con la fórmula resolvente (no es una ecuación de "primer grado" como dices, es de "segundo grado", porque tiene x²):

1 - x² - 3x/2 - 1/2 + x²/4 - 5x + 3/4 x = 0

Aquí aclaremos que: 

3x/2 es igual a 3/2 x

x²/4 es igual a 1/4 x²

Así que tenemos:

1 - x² + 3/2 x - 1/2 + 1/4 x² - 5x + 3/4 x = 0

"Junto" las x² con las x², las x con las x, y los números con los números, y queda:

1 - 3/4 x² -11/4 x = 0

-3/4 x² - 11/4 x + 1 = 0

Es una ecuación cuadrática completa, y la puedes resolver con la fórmula resolvente:

x1,2 =

a = -3/4

b = -11/4

c = 1

           -(-11/4) +-V(-11/4)² - 4.(-3/4).1
x_1,2 = ----------------------------------
                           2.(-3/4)

            11/4 +- V121/16 + 3
x_1,2 = -----------------------
                     -3/2

          11/4 +-V169/16
x_1,2 = -----------------
                 -3/2

         11/4 +- 13/4
x_1,2 = -------------
               -3/2

x₁ = (11/4 + 13/4)/(-3/2) = -4

x₂ = (11/4 - 13/4)/(-3/2) = 6

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07-01-11 Pregunta de rocío

buenas dias disculpen que los moleste pero tengo un problema que no e podido encontrar la solucion..te paso el el problema

X2/5 - x/2 =3/10

y gracias...


Hola rocío. 

x²/5 - x/2 = 3/10

Puedes restar las dos fracciones del primer miembro, buscando denominador común:





Y los dos denominadores iguales se pueden cancelar. Entonces queda:

2x² - 5x = 3

Y eso es una ecuación cuadrática completa. La puedes resolver con la fórmula resolvente. Pero primero hay que pasar todo a un mismo miembro, y dejar sólo cero en el otro

2x² - 5x - 3 = 0

a = 2
b = -5
c = -3

x=





x₁ = (5 + 7)/4 = 12/4 = 3

x₂ = (5 - 7)/4 = -2/4 = -1/2

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07-01-11 Pregunta de luis antonio

hola a todos perdon pero esque estoy atorado en estos problemas me podrian apoyar

mucas gracias

1.-6x2=x+22
2) 176x=121+64x2
3)3x(x-2) (x-6) =23(x 3)


Hola luis antonio. Son ecuaciones cuadráticas y las puedes resolver aplicando la fórmula resolvente:

x =

Pero para ver cuáles son los coeficientes "a", "b" y "c" hay que pasar todos los términos a un miembro de la ecuación, de manera que en el otro miembro quede solamente cero:

ax² + bx + c = 0


1) -6x² = x + 22

-6x² - x - 22 = 0

a = -6 (El número que está multiplicando a la x²)
b = -1 (El número que está multiplicando a la x. Como -x es igual a -1x, ése número es -1)
c = -22

x =



Como quedó la raíz cuadrada de un número negativo que no se puede resolver, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números Reales (porque en ese conjunto no se puede calcular una raíz cuadrada de un número negativo). Se dice que la ecuación "no tiene solución en Reales". Pero si estás viendo números Complejos sí se pueden hallar soluciones complejas (en todo caso decíme si es así y te lo termino hallando las raíces complejas).

2) 176x = 121 + 64x²
    176x - 121 - 64x² = 0
   -64x² + 176x - 121 = 0

a = -64
b = 176
c = -121

x =



Como si a -176 le sumo o resto cero va a dar lo mismo: -176, hay una sola solución:

x = -176/-128

x = 11/8


3) 3x.(x-2).(x-6) = 23x³

En éste voy a aplicar la Propiedad distributiva, a ver a qué llego:

(3x² - 6x).(x - 6) = 23x³ 

3x³ - 18x² - 6x² + 36x = 23x³

3x³ - 24x² + 36x - 23x³ = 0

-20x³ - 24x² + 36x = 0

Ésta es una ecuación de tercer grado (el término de mayor grado está a la potencia 3), pero se puede sacar factor común "x" para reducir el grado. Como también hay factor común entre los número, lo saco también aunque no es obligatorio:

4x.(-5x² - 6x + 9) = 0

Como me quedó una multiplicación igualada a cero, alguno de los dos factores es igual a cero, así que:

4x = 0      ó     -5x² - 6x + 9 = 0

Resuelvo esas dos ecuaciones:

4x = 0
x = 0:4
x = 0                                      (Ya tengo una de las soluciones posibles)

-5x² - 6x + 9 = 0

a = -5
b = -6
c = 9

x =







Ésas son las tres soluciones de esta ecuación:

x = 0   ó

x = -3/5 - 3/5 √6    ó

x = -3/5 + 3/5 √6

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11-11-10 Pregunta de callita

hola, buenas noches, 
podrias por favor ayudarme a resolver este tipo de problemas... 

x2+108x+75= 108 

es que mañana a las ocho de la noche me ponen un examne de algebra y son puros problemas de ese tipo, pero loq uieren todo desglosado, ´pero no le entiendo a mi amestra 
me podrias ayudar por favor!!!?? 
me urgeee!!!!


Hola callita. Ésa es una ecuación cuadrática (de segundo grado). Y como tiene un término con x², y otro con x, no puedes despejarla como las ecuaciones de primer grado. La forma más común de resolverla es pasar todos los términos al mismo lado de la ecuación, y dejar cero en el otro lado. Luego, aplicarle la "fórmula resolvente", que ya debes conocer. Te muestro:

x² + 108x + 75 = 108

x² + 108x + 75 - 108 = 0

x² + 108x - 33 = 0

x_1,2 =


En esa fórmula, "a" es el número que está multiplicando a la x² (coeficiente principal, de grado 2); "b" es el número que está multiplicando a a la x (coeficiente de grado 1), y "c" es el "número que no tiene x" (término independiente). Así que, para esta ecuación, tenemos que:

a = 1
b = 108
c = -33

(La x² no tiene un número delante en este ejemplo, pero hay que pensar que hay un "1", ya que 1.x² es igual a x². Cuando un término "no tiene coeficiente", en realidad su coeficiente es "1")

x_1,2 =







La raíz no es exacta en este ejemplo, así que puse el resultado aproximado (redondeé el decimal).

Así encuentras que esta ecuación tiene dos soluciones:

x₁ = 0,3

x₂ = -108,3

Tiene dos soluciones, porque la fórmula dice "más menos", es decir que hay dos posibilidades: sumar o restar en el numerador de la fracción.

Pero cuidado que puedes tener otras cuadrática como ésa, y encontrar que tiene una solución, o ninguna en el conjunto de los números reales.

Ejemplos:

1) "No tiene solución en reales":

x² - 6x + 10 = 0

x_1,2 =


Como la raíz de -4 no tiene solución en el conjunto de los números reales (en la calculadora te dá "error"), no puedes terminar de aplicar la fórmula, entonces no encontrarás soluciones para la ecuación. Se dice que la ecuación cuadrática "no tiene solución en reales", o "no tiene soluciones reales", que quiere decir que ningún número del conjunto de los reales es solución de esa ecuación (tiene solución en otro conjunto, el de los números complejos).


2) "Una sola solución":

x² - 6x + 9 = 0

x_1,2=

x₁= (6 + 0)/2 = 6/2 = 3

x₂ = (6 - 0)/2 = 6/2 = 3

Cuando aplicas la fórmula resolvente, debajo de la raíz queda cero. Luego, aunque sumes o restes cero, el resultado va a ser el mismo. Por eso ya no hay dos posibilidades, o bien: las posibilidades dan igual. Entonces la solución es una sola:

x = 3

Puedes ver más ejemplos de la aplicación de la fórmula en las explicaciones de los ejercicios resueltos del Séptimo caso de factoreo. Espero que con esto te alcance. Suerte para mañana.

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09-11-10 Pregunta de Jack

BUENOS DIAS TENGO UNA GRAN DUDA EN ESTE PROBLEMA:
TENGO LA SIGUIENTE ECUACION:

DELTA P = ( P1 AL CUADRADO - P2 AL CUADRADO)
P1=55
DELTA P = 8,79

MI PREGUNTA ES :
COMO OBTENGO EL VALOR DE P2?

LES AGRADECERIA ME EXPLICARAN Y SI ME PUEDEN RESPONDER A ESTE CORREO,
SALUDOS,
GRACIAS


∆P = (P1)² - (P2)²

(Los paréntesis los pongo para que se entienda que es "al cuadrado", pero no hacen falta)

Como P1 = 55, y ∆P = 8,79, puedes reemplazar ambas variables:

8,79 = (55)² - (P2)²

8,79 = 3025 - (P2)²

8,79 - 3025 = - (P2)²

-3026,21 = - (P2)²

Cuando tienes un signo "menos" delante de la incógnita que quieres despejar, puedes hacer solucionarlo de varias maneras distintas. Te muestro para que elijas:

1) Una de ellas el cambiarle el signo al otro miembro (pero cuidado, eso se puede hacer fácilmente solamente cuando hay uno solo término en el otro miembro, si hay varios términos u operaciones hay que pensarlo bien, lo cual no conviene mucho hacerlo así). En este ejercicio es fácil, quedaría:

3026,21 = (P2)²

2) Piensa que hay un "-1" multiplicando a la incógnita, y lo pasas dividiendo al otro miembro. Así:

-3026,21 = -1.(P2)²

(-3026,21):(-1) = (P2)²

3026,21 = (P2)²

Ves cómo de las dos maneras se llega a lo mismo.

Ahora sigo despejando. Cuando tienes que despejar un incógnita al cuadrado, debes recordar que eso dá dos resultados: uno positivo y uno negativo (después te explico por qué). Eso también se puede expresar de distintas fórmulas: con módulo, con el signo "más menos" o separando en dos resultados: uno con el "más" y el otro con el "menos". Depende de cómo lo hayas visto. Yo te lo separo en dos ecuaciones:

3026,21 = (P2)² entonces:

√3026,21 = P2

ó

-√3026,21 = P2

55,01 = P2 (aproximado)

ó

-55,01 = P2 (aproximado)

Ésos son los dos resultados. Y son dos porque elevar al cuadrado a 55,01 y a -55,01 dá lo mismo: 3026,21 positivo, ya que aunque el -55,01 sea negativo, su cuadrado es positivo, ya que:

(-55,01)² = (-55,01).(-55,01) = 3026,21

porque "menos por menos dá más".

Como los dos números cumplen con la ecuación, los dos son soluciones de la ecuación. Y eso va a pasar en la mayoría de las ecuaciones en que tengas que despejar una incógnita que está al cuadrado. Con excepción del caso en que la solución sea cero, o que la ecuación no tenga solución porque queda la raíz cuadrada de un número negativo.

Espero que eso responda tu pregunta. Saludos.

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