Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas 

Página Principal - Temario | Factoreo | Expresiones Algebraicas Racionales | Respuestas

RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: ECUACIONES RACIONALES -  EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


10-04-11 Pregunta de martin

Hola que tal me podrias ayudar con esta ecuacion 

x+2 - x+6 
--- --- = 2 
x-2 x 

Gracias desde ya. Saludos

Hola martin:

x + 2     x + 6
------ - ----- = 2
x - 2        x

Es una ecuación racional, y hay varias maneras de resolverla. No sé si conoces más o menos todo el proceso, en la página lo puedes ver (es largo):

ECUACIONES RACIONALES

EJEMPLO 2 (Uno de los miembros es un solo número)

En esta ecuación me parece mejor restar las dos fracciones, y luego pasar el denominador al otro miembro:

(x + 2).x - (x + 6).(x - 2)
-------------------------- = 2
        (x - 2).x

x2 + 2x - (x2 - 2x + 6x - 12) = 2.(x - 2).x

x2 + 2x - (x2 + 4x - 12) = (2x - 4).x

x2 + 2x - x2 - 4x + 12 = 2x2 - 4x

-2x + 12 = 2x2 - 4x

0 = 2x2 - 4x + 2x - 12

0 = 2x2 - 2x - 12

Y ésa es una ecuación cuadrática completa, que se puede resolver con la fórmula resolvente:

x1,2 = formula resolvente de las ecuaciones cuadraticas

a = 2
b = -2
c = -12

       -(-2) +- V(-2)2 - 4.2.(-12)
x1,2 = ------------------------
                        2.2

          2 +- V100
x1,2 = ------------
               4

          2 +- 10
x1,2 = --------
              4

x1 = (2 + 10)/4 = 12/4 = 3

x2 = (2 - 10)/4 = -8/4 = -2


Pero hay que ver cuál es la Condición de existencia (porque los denominadores no pueden ser igual a cero). Así que debe cumplirse que:

x - 2 ≠ 0        y        x ≠ 0

x = 0 + 2

x = 2

Condición de existencia: 

x ≠ 2       y      x ≠ 0

Como x1 = 3 y  x2 = -2  cumplen con la condición de existencia, el conjunto solución es:

Conjunto solución: {3 , -2}

No te explico con más detalle, porque este tema está explicado en la página. Cualquier duda en algún paso me vuelves a preguntar.



25-02-11 Pregunta de Andrea

Hola mi nombre es Andrea, no me sale este ejercicio y me gustaria que me ayuden. 
El enunciado solo dice hallar la X en los siguientes casos. 

1/(x-2)^2-12/x-2+35=0 

(x-2 al cuadrado es el denominador de 1) (x-2 es el denominador de 12)( y 35 tiene denominador 1)


Hola Andrea:

   1               12 
------- - ----------- + 35 = 0
(x - 2)2      (x - 2)


Es una ecuación racional. Hay que tratar de eliminar los denominadores, y una forma de hacerlo es sumar/restar todas las fracciones en un miembro, y que en el otro quede cero (en tu ejercicio ya están todas del mismo lado).
Para sumar/restar fracciones con distinto denominador, hay que buscar denominador común, que es el m.c.m (mínimo común múltiplo) entre los denominadores de todas las fracciones. El m.c.m. es el "producto de todos los factores con su mayor exponente", sobre eso hay muchos ejemplos en la página que quizás deberías ver para entenderlo bien (con un solo ejemplo quizás no se puede entender bien cómo calcularlo). Al final de todo están los enlaces para que consultes sobre eso. En este ejercicio el m.c.m. es:

m.c.m: (x - 2)2

Porque los denominadores son:

(x - 2)2
(x - 2)
1

Y los "factores" son: (x - 2) y 1. Y el mayor exponente con el que aparece (x - 2) es "2". El 1 no se pone como factor (porque multiplicar por 1 es lo mismo que no hacer nada: 1.(x - 2)2 es lo mismo que (x - 2)2).

Así que pongo el denominador común y cambio los numeradores siguiendo el procedimiento para sumar/restar fracciones (el mismo que aprendiste para sumar/restar fracciones numéricas):

1 - 12.(x - 2) + 35.(x - 2)2
---------------------------- = 0
              (x - 2)2

Porque:

Primera fracción: Como su denominador es igual al denominador común, el numerador queda igual. Y sino, puedes seguir el procedimiento para este caso particular, que sería: (x - 2)2 dividido (x - 2)2 es igual a 1. Así que hay que multiplicar 1.1, lo que dá 1 (algunos necesitan hacerlo para entender que dá igual).

Segunda fracción: (x - 2)2 dividido (x - 2) es igual a (x - 2). Así que hay que multiplicar 12.(x - 2) (Sobre este procedimiento y fracciones hay mucho en la página. Abajo te doy los enlaces para que lo veas en múltiples ejemplos)

Tercera fracción: (x - 2)2 dividido 1 (el denominador de 35) es igual a (x - 2)2. Así que hay que multiplicar a 35.(x - 2)2.

Luego, se puede cancelar el denominador común, porque una fracción es igual a cero cuando sólo el numerador es igual a cero. O sino, piensa que pasas el
(x - 2)2 multiplicando al otro miembro (ya que allí esta dividiendo). Como la multiplicación por cero dá cero, queda sólo el cero y el denominador "desaparece".

1 - 12.(x - 2) + 35.(x - 2)2
--------------------------- = 0
              (x - 2)2


1 - 12.(x - 2) + 35.(x - 2)2 = 0

1 - 12x + 24 + 35(x2 - 4x + 4) = 0

25 - 12x + 35x2 - 140x + 140 = 0

35x2 - 152x + 165 = 0

Y ésa es una ecuación cuadrática completa, que se puede resolver usando la "fórmúla resolvente":

a = 35
b = -152
c = 165

x1,2 = formularesolvente

           -(-152) +- V(-152)2 - 4.35.165        152 +- V23104 - 23100
x1,2 = --------------------------------- = --------------------------
                       2.35                                            70

152 +- V4        152 +- 2
----------- = ----------- =
    70                     70

x1 = (152 + 2)/70 = 154/70 = 11/5

x2 = (152 - 2)/70 = 150/70 = 15/7

Ésas son las dos "posibles" soluciones de la ecuación. Pero en este tipo de ecuaciones hay que comprobar que esas soluciones no hagan que algún denominador dé cero. Porque una fracción no puede tener denominador cero, ya que no se puede dividir por cero, y entonces no podría ser solución de la ecuación (porque no la satisface, ya que no se puede dividir). Una forma de hacerlo es reemplazar las posibles soluciones en las x de todos los denominadores (o en el denominador común), y ver si dá o no cero:

Denominador común: (x - 2)2

Reemplazo con x1 = 11/5

(11/5 - 2)2 = 1/25       No dá cero: Entonces x1 es una solución válida.

Ahora con x2 = 15/7

(15/7 - 2)2 = 25/49      No dá cero. Otra solución válida.

Así que ecuación racional tiene dos soluciones:

x1 = 11/5
x2 = 15/7

O Conjunto solución: {11/5 ; 15/7}

Otra manera de ver si las soluciones son válidas es determinando la "Condición de existencia" o "Dominio" (como le dicen también). Eso lo desarrollé en la página, y lo puedes ver en este enlace: CONDICIÓN DE EXISTENCIA.


RESUMEN DE LOS PASOS:

   1               12 
------- - ----------- + 35 = 0
(x - 2)2      (x - 2)

1 - 12.(x - 2) + 35.(x - 2)2
---------------------------- = 0
              (x - 2)2

1 - 12.(x - 2) + 35.(x - 2)2
--------------------------- = 0
              (x - 2)2


1 - 12.(x - 2) + 35.(x - 2)2 = 0

1 - 12x + 24 + 35(x2 - 4x + 4) = 0

25 - 12x + 35x2 - 140x + 140 = 0

35x2 - 152x + 165 = 0


x1,2 = formularesolvente

           -(-152) +- V (-152)2 - 4.35.165        152 +- V 23104 - 23100
x1,2 = --------------------------------- = --------------------------
                       2.35                                            70

152 +- V4        152 +- 2
----------- = ----------- =
    70                     70

x1 = (152 + 2)/70 = 154/70 = 11/5

x2 = (152 - 2)/70 = 150/70 = 15/7


ENLACES RECOMENDADOS:

ECUACIONES RACIONALES

EJEMPLO 2

M.C.M ENTRE POLINOMIOS

FORMULA RESOLVENTE

CONDICION DE EXISTENCIA

También puedes leer las respuesta que siguen, que son sobre este mismo tema.



07-02-11 Pregunta de esther

HOLA OTRA VEZ, ESTA VEZ TENGO UNA DUDA MUY TONTA PERO QUE ME HACE CONFUNDIRME EN MUCHOS EJERCICIOS, LA PREGUNTA ES CUANDO DESAPARECE EL DENOMINADOR DE UNA FRACCION AL HACER UN DENOMINADOR COMUN , ES DECIR SI ESTA SUMANDO NO DESAPARECE O SOLO DESAPARECCE EN LAS ECUACIONES, O TAN SOLO SI SE ELIMINA POR ESTAR MULTIPLICANDO, ES QUE LAS SOLUCIONES DE MIS EJERCICIOS ESTAN DEMASIADO ESCUETAS Y ME ESTOY LIANDO, MUCHAS GRACIAS ME ESTAN AYUDANDO MUCHO MUCHO,ESPERO SUERSPUESTA UN CORDIAL SALUDO
ESTHER


Hola Esther. En una ecuación, o en un ejercicio para resolver, nada "desaparece" porque sí. Sino, la igualdad no se mantiene. Lo que se hace es "cancelar", cuando esa cancelación no cambia el resultado; o "pasar al otro miembro" cuando es una ecuación, aplicando propiedades de las que no se tiene conciencia. Porque se aprende a "recordar" ciertas "reglas" de memoria a partir de la imitación de situaciones repetidas, pero sin saber por qué, el fundamento de esas reglas ("lo que, está sumando, pasa restando...", etc. etc.). Por eso surgen estas dudas de cuándo se puede simplificar o cancelar, en qué orden pasar las cosas al otro miembro, etc., porque se presentan situaciones nuevas o que no se han repetido suficientemente, entonces no se "recuerdan". En cada paso se aplican propiedades, para cambiar las cosas de lugar y "hacer desaparecer cosas" a conveniencia, para llegar a un objetivo, como despejar una letra por ejemplo. Pero esas propiedades garantizan que la igualdad se mantenga. Lo que hacemos no tiene que cambiar el resultado. Cuando se cancela algo es porque sería lo mismo que no existiera. Y cuando se pasa algo al otro miembro es también para poder cancelarlo del miembro en que estaba, aunque eso no se "vea".

Las situaciones que me planteas son varias, y por tu descripción quizás llego a imaginarme algunas. Intentaré mostrarte algunas a las que supongo te refieres, pero sino puedes mandarme ejemplos y te muestro qué hacer en cada una:

"¿Cuando desaparece el denominador de una fracción al hacer un denominador común?"

Me imagino que te refieres a las ecuaciones racionales. Depende de qué método uses para hacerlas, se te puede presentar estas situaciones:

Ejemplo 1:

2x - 3
------- = 0
 x + 1


Allí tienes una fracción igual a cero. Puedes cancelar el denominador por lo siguiente: "Una fracción es igual a cero cuando su numerador es igual a cero". Eso se traduce en:

2x - 3 = 0            ("El numerador, que es 2x - 3, es igual a cero")

Piensa en ejemplos fracciones numéricaS que den cero, y verás que son sólo aquellas que tienen cero en el numerador. La calculadora puede ayudarte, recuerda que una fracción representa a una división:

0/2 = 0
0/5 = 0
0/4 = 0

Dividir por cero no se puede, así que nunca el denominador de una fracción puede ser cero:

8/0 = Error
0/0 = Error

Y si no pones el cero en algún lado, nunca te va a dar cero la fracción (puedes hacerl las prueba hasta que te canses). Así que no hay otra posibilidad que la de que el numerador sea igual a cero.

También lo podrías haber pensado así, con las "reglas" de uso común:

2x - 3
------- = 0
 x + 1

Como es una ecuación "lo que está dividiendo pasa multiplicando". Como x + 1 es un denominador, está dividiendo, así "pasa multiplicando" al otro miembro:

2x - 3 = 0.(x + 1)

Pero multiplicar por cero a cualquier cosa, dá como resultado cero:

a.0 = 0

Así que 0.(x + 1) = 0. La ecuación queda:

2x - 3 = 0

Así, se "canceló el denominador". Sólo quedó el numerador igual a cero.


Ejemplo 2:

      5x + 1                     3 - x
--------------- = --------------
(x + 2).(x - 1)      (x + 2).(x - 1)


Cuando llegas a que ambos miembros son fracciones con el mismo denominador, puedes cancelarlos. Y te queda:

5x + 1 = 3 - x

Porque si tienes dos fracciones iguales, y ambas tienen el mismo denominador, los numeradores tienen que ser iguales:

a/b = c/b    entonces    a = c          (b desigual a cero)

Piensa también que una fracción representa a una división. Si la división dá igual, y estoy dividiendo por el mismo número, es porque los números que estoy dividiendo también eran iguales.

Si a un número lo divides por 2, y dá 3, es porque ese número era 6:

6/2 = 3

¿Hay otro número que yo lo divida por 2 y me dé 3? No. Entonces, si me dicen que un número desconocido "a", que cuando lo divido por 2 me dá 3:

a/2 = 3

puedo asegurar que ese número "a" es 6, porque otro que cumpla eso no hay. Así que, si:

a/2 = 6/2

Es porque a = 6. Los numeradores son iguales.

Espero que ésas fueran las situaciones que te plantean dudas, y si hay más (porque no llego a interpretar bien la pregunta), me mandas ejemplos y te lo muestro. Saludos.


06-02-11 Pregunta de javier

4x-13/x=3/2


Hola javier:

4x-13/x = 3/2

Así como esta escrito no puedo saber si en el primer miembro hay una sola fracción con numerador 4x - 13 y denominador x, o es una resta de "4x menos la fracción x/13". Te lo hago de las dos maneras:

(4x-13)/x = 3/2

Si es así (4x - 13 es el numerador), se puede resolver pasando la x del denominador, multiplicando al otro miembro:

4x - 13 = (3/2).x

Luego, es una ecuación de primer grado. Hay que "juntar las x", así que paso todos los términos con x al mismo lado de la ecuación, y los números al otro lado:

4x - 3/2 x = 13

5/2 x = 13

x = 13:(5/2)

x = 26/5


Y si fuera de la otra forma que te dije:

4x - 13/x = 3/2

Hay varias formas de hacerlo. Te digo la que me parece más fácil para esta ecuación en particular: puedes pasar 4x al otro miembro, y así podrás pasar luego la x del denominador:

-13/x = 3/2 - 4x

-13 = (3/2 - 4x).x

-13 = 3/2 x - 4x2

Ésa es una ecuación completa de segundo grado (cuadrática), así que se puede resolver con la fórmula resolvente:

x1,2 =

Pero primero hay que pasar todos los términos a un mismo miembro, para que en el otro quede cero:

4x2 - 3/2x - 13 = 0

Ahí puedes ver que a = 4 (el número que multiplica a la x2), b = -3/2 (el número que multiplica a la x), y c = -13 (el número que "está solo", llamado "término independiente"). Así que reemplazo en la fórmula:

x1,2 = [-(-3/2) +-  √(-3/2)2 - 4.4.(-13) ]/(2.4) = (3/2 +-  √9/4 + 208 )/8 =

(3/2 +- √ 841/4 )/8 = (3/2 +- 29/2)/8

x1 = (3/2 + 29/2)/8 = (32/2)/8 = 2

x2 = (3/2 - 29/2)/8 = (-26/2)/8 = -13/8

Si no sabías aplicar la fórmula resolvente, puedes ver más ejemplos resueltos en el siguiente enlace:

FORMULA RESOLVENTE


08-08-10 Pregunta de MiriAm 

HOLA ESPERO ME PUEDAS AYUDAR LO QUE PASA QUE NO SE COMO RESOLVER ESTE EJERCICIO, ESTADO INTENTANDO PERO NO ME SALE.
BUENO ESTE ES EL EJercicio tengo que resolver la siguiente ecuacion.:

        2               1                          4
__________ -  _____________ = ____________
x^2 + 2x - 8     x^2 + 9x + 20      x^2 + 3x - 10


Hola MiriAm. En la página está explicado todo el procedimiento para resolver estas ecuaciones racionales (Ecuaciones Racionales). Primero tienes que factorizar los denominadores, luego buscar el m.c.m. entre todos ellos, y cambiar los numeradores como se hace en la suma de fracciones. Allí hay mucho para explicar de cada cosa, no sé si ya lo sabes y sino deberías ver las explicaciones que doy en la página. Pero te muestro como se hace este ejercicio en particular, y qué debes consultar si no sabes hacer alguna de las cosas que requiere cada paso:

1) Factorizar todos los denominadores. Todos se pueden hacer con el Séptimo caso de factoreo: Trinomio de segundo grado (En ese enlace puedes ver un ejemplo con la explicación de todos los pasos para resolverlo):

x2 + 2x - 8 = (x - 2).(x + 4) 

x2 + 9x + 20 = (x + 4).(x + 5)

x2 + 3x - 10 = (x - 2).(x + 5)


Reemplazo entonces los denominadores, por sus equivalentes factorizados:

        2                   1                          4
___________  -  _____________ = ____________
x2 + 2x - 8          x2 + 9x + 20        x2 + 3x - 10


          2                   1                          4
___________  -  _____________ = _____________
(x - 2).(x + 4)     (x + 4).(x + 5)     (x - 2).(x + 5)


2) Buscar el m.c.m entre esos denominadores. En este ejercicio, el m.c.m es igual a la multiplicación de todos esos distintos factores. Para más información sobre el m.c.m. puedes consultar acá: MCM

m.c.m: (x - 2).(x + 4).(x + 5)


3) A todas las fracciones transformarlas poniendo como denominador común a
 (x - 2).(x + 4).(x + 5):


 2.(x + 5)  - 1.(x - 2)          4.(x + 4)
____________________ = _____________________
(x - 2).(x + 4).(x + 5)        (x - 2).(x + 4).(x + 5)

Eso se hace como la suma de fracciones numéricas: "Denominador común, dividido el de abajo, multiplicado por el de arriba". Más sobre eso en:
SUMA DE FRACCIONES.


4) Ahora se pueden cancelar los denominadores:

2.(x + 5)  - 1.(x - 2)          4.(x + 4)
____________________ = _____________________
(x - 2).(x + 4).(x + 5)        (x - 2).(x + 4).(x + 5)

Así que queda solamente "lo de arriba":

2.(x + 5) - 1.(x - 2) = 4.(x + 4)


5) Resolver esa ecuación:

2x + 10 - x + 2 = 4x + 16

x - 4x = 16 - 10 - 2

-3x = 4

x = -4/3


5) Condición de existencia: (la explicación sobre eso lo puedes ver aquí: CE)

x - 2 = 0
x = 2

x + 4 = 0
x = -4

x + 5 = 0
x = -5

Condición de existencia: x ≠ 2, x ≠ -4 y x ≠ -5


6) Conjunto solución:

Como la solución que encontré, x = -4/3, cumple con la condición de existencia (ya que no es igual a 2, ni a -4, ni -5), es una solución válida de la ecuación racional. Así que la solución es:

x = -4/3

ó Conjunto Solución: {-4/3}



02-10-10 Pregunta de silvia susana

1     + x  =  1         - 4
----          -------
x + 4         x + 4


B) 5 x + 8  =   5 x - 6
----------     
---------
3 x - 4         3 x + 3


C) x   =   10
            -------
            7 - x


D) 2 x - 10    = x
  -----------
    x - 5

¿QUERIA SABER SI ME PODIAN AYUDAR A RESOLVER Y DAR LA EXPLICACION DE COMO HACERLO DE ESTAS ECUACIONES RACIONALES? GRACIAS


Hola silvia.

A) El primero tiene algo de particular, y es que al estar 1/(x + 4) en ambos miembros, se pueden cancelar (a mí me suena que este ejercicio está mal copiado). Aunque podría hacerse todo el procedimiento de buscar denominador común, en este ejercicio no hace falta hacerlo. Porque puedo cancelar:



y queda solamente:

x = -4

Pero como los denominadores son x + 4, y un denominador no puede ser igual a 0, la Condición de existencia es que x sea desigual a -4 (¿qué es la condición de existencia?):

x + 4 = 0
x = -4

Entonces, la única posible solución que encontramos no cumple la condición de existencia. Eso significa que la ecuación no tiene solución.

B) 

Esta ecuación es una "proporción", es decir: una igualdad entre dos fracciones. La manera más práctica de resolverla es usando la Propiedad fundamental de las proporciones ("el producto de los extremos es igual al producto de los medios"). Es decir que hay que "multiplicar cruzado" (en cualquier orden):

(5x + 8).(3x + 3) = (3x - 4).(5x - 6)

Luego aplicas la propiedad distributiva en ambos miembros:

15x2 + 15x + 24x + 24 = 15x2 - 18x - 20x + 24

Y resuelves esa ecuación, que ya no es racional.

15x2 + 39x + 24 = 15x2 - 38x + 24

15x2 - 15x2 + 39x + 38x = 24 - 24

77x = 0

x = 0:77

x = 0

Y la condición de existencia es:

3x - 4 = 0
3x = 4
x = 4/3

3x + 3 = 0
3x = -3
x = -3:3
x = -1

C.E: x ≠ 4/3 y x ≠ -1

Como la posible solución era x = 0, y ésta cumple con la condición de existencia, la solución es x = 0. O Conjunto Solución = {0}.

En el EJEMPLO 3 de Ecuaciones Racionales puedes ver una explicación más amplia de una ecuación que, como ésta, es una proporción.

C) 

En esta lo más práctico es pasar el (7 - x) multiplicando al otro miembro, ya que está dividiendo (los denominadores están dividiendo) en el segundo miembro, y "lo que está dividiendo pasa multiplicando". Queda así:

x.(7 - x) = 10

Luego empiezas a resuelver esa ecuación:

7x - x2 = 10

Como quedaron dos términos que tienen x, pero con distinto grado por lo cual no se pueden "juntar", hay que pasar todos los términos al mismo lado y dejar cero en el otro. Queda una ecuación cuadrática completa:

-x2 + 7x - 10 = 0

Que puedes resolver usando la fórmula resolvente de las ecuaciones cuadráticas. Para ver la fórmula y cómo usarla consulta aquí: Fórmula resolvente.

Usando la resolvente encontré que las soluciones son dos:

x1 = 2
x2 = 5

Y la condición de existencia es:

7 - x = 0
-x = -7
x = 7

Como las posibles soluciones que encontré antes cumplen la condición de existencia, la solución de la ecuación es:

x1 = 2
x2 = 5


O Conjunto Solución: {2,5}


D) 

Es igual a la anterior. Conviene para el (x - 5) multiplicando al otro miembro. Te queda:

(2x - 10) = x.(x - 5)

Luego aplicas la propiedad distributiva, y te queda una ecuación cuadrática. La resuelves y encuentras las posibles soluciones. Y después también tienes que ver cuál es la condición de existencia y ver si esas soluciones la cumplen. Eso te lo dejo a tí. Espero que lo puedas resolver.





Política de Privacidad - Contacto: matematicaylisto@gmail.com