RESPUESTAS A LAS CONSULTAS
TEMA: ECUACIÓN DE LA
ELIPSE
02-06-11
Pregunta de eze
Hola,quisiera saber si podrias ayudarme con este ejercicio.Dice asi:
a)graficar la curva dada por la ecuacion:
x al cuadrado mas 8 x mas 16y al cuadrado(al cuadrado solo la y,por supuesto) mas 7 igual 0.
Espero su respuesta!!!!!
Cursando:: prof matem.
Edad:: 22
Nacionalidad:: argentina
¿Qué opinas de la web?: excelente
Hola eze:
x2 + 8x + 16y2 + 7 = 0
Es la ecuación general de una elipse o una hipérbola. Para graficarla necesitamos hallar la medida de los ejes y el centro, y eso se puede ver en la fórmula
canónica:
(x - xc)2 (y - yc)2
--------- + --------- = 1
(Elipse "paralela al eje x")
a2
b2
(y - yc)2 (x - xc)2
--------- + ----------- = 1 (Elipse "paralela al eje y")
a2
b2
(x - xc)2 (y - yc)2
--------- - --------- = 1 (Hipérbola "paralela al eje x")
a2
b2
(y - yc)2 (x - xc)2
--------- - --------- = 1 (Hipérbola "paralela al eje y")
a2
b2
Donde xc e yc son las coordenadas del centro, y "a" y "b" las medidas de los "semiejes".
Así que hay que pasar la ecuación de la forma general a la forma canónica. Eso se hace con el procedimiento de "completar cuadrados" o "completar el trinomio", que ya expliqué en varias oportunidades (más adelante te doy los enlaces). Así que voy a hacer eso:
x2 + 8x + 16y2 + 7 = 0
El trinomio con x se completa con 42. Porque
8:2 = 4 (el coeficiente del término con "x")
En el caso de la "y" no hace falta completar el trinomio, porque no hay término con "y" (después vemos que se hace).
Así que queda:
x2 + 8x + 42 - 42 + 16y2 + 7 = 0
(x2 + 8x + 42) + 16y2 + 7 - 42 = 0
(x + 4)2 + 16y2 + 7 - 16 = 0
(x + 4)2 + 16y2 - 9 = 0
(x + 4)2 + 16(y - 0)2 = 9
Agregué el cero restando a la y, para que quede el cuadrado de un binomio como en la fórmula canónica, y así se pueda ver la
yc (coordenada "y" del centro). Pero no hace falta hacerlo.
Ahora hay que sacar el 16. Como multiplicar por 16 es lo mismo que dividir por su inverso: 1/16, lo voy a poner dividiendo, y así me llego a la fórmula canónica, que no tiene números multiplicando delante del binomio, sino números dividiendo al binomio. Como el binomio con x no tiene ningún número multiplicando, pongo el 1 dividiendo, así se ve el valor de
"a2" o "b2":
(x + 4)2 (y - 0)2
-------- + -------- = 9
1
1/16
Pero en el segundo miembro tiene que quedar un "1", y hay un "9". Entonces lo paso dividiendo:
(x + 4)2 (y - 0)2
-------- + --------
1
1/16
---------------------- = 1
9
Y eso lo puedo resolver de varias maneras. Por ejemplo, puedo usar la propiedad distributiva de la división respecto de la suma:
(x + 4)2 (y - 0)2
-------- --------
1
1/16
-------- + ------------ = 1
9
9
Y si no te es común dividir "fracción sobre fracción", podemos usar que dividir por 9 es lo mismo que multiplicar por 1/9. Así que queda:
(x + 4)2 1 (y -
0)2 1
--------.--- + ----------.---- = 1
1 9
1/16 9
(x + 4)2 (y - 0)2
-------- + -------- = 1
9
9/16
Ésa es la fórmula canónica de una elipse, porque es una suma. El "0" y el "1" los puse para que se visualicen los elementos que buscamos de la elipse (centro y ejes), pero no hace falta ponerlo. Así que esa fórmula la puedes ver también como:
(x + 4)2 y2
-------- + ------ = 1
9 9/16
En la fórmula canónica se puede ver que el centro de la elipse es:
CENTRO = (-4,0)
Porque (x + 4)2 es igual a:
(x - (-4))2
Entonces la "xc" es -4.
Y el número que está restando a la "y" es 0. Así que la "yc" es 0.
Y las medidas de los "semiejes" son:
a2 = 9
|a| = V9
|a| = 3
El semieje mayor es un segmento de medida 3.
b2 = 9/16
|b| = V(9/16)
|b| = 3/4
El semieje menor es un segmento de medida 3/4 (ó 0,75).
Recordemos que en la Elipse, "a" es el semieje mayor, y "b" el menor. Como 9 es mayor que 9/16, planteé la ecuación con "a" para el 9, y con "b" para el 9/16.
Entonces tenemos los elementos necesarios para graficar la elipse.
CENTRO: (-4,0)
SEMIEJE MAYOR: 3
SEMIEJE MENOR: 3/4 (ó 0,75)
Ésta es una elipse "paralela al eje x", la "a" está debajo del binomio con "x", entonces el eje mayor es paralelo al eje x:
