TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES - OPERACIONES

30-05-11 Pregunta de NANCY       (SIMPLIFICACIÓN)

como se simplifica la siguiente expresion: X^2+7/7X

Cursando:: PREUNIVERSITARIO
Edad:: 26
Nacionalidad:: COLOMBIANA
¿Qué opinas de la web?: PARA ESTUDIOS ES EXCELENTE

Hola NANCY. Si es:

x² + 7
-------- =
   7x

no se puede simplificar nada. Porque el numerador no tiene raíces reales, no se puede factorizar con raíces reales. Lo que si podrías es "distribuir" el denominador (aplicar la propiedad distributiva de la división), pero eso no es "simplificar", sino cambiarle la forma a la expresión, pero no queda "más simple", aunque luego en cada fracción sí se puede simplificar. Así:

x²      7
--- + --- =
7x     7x

Es decir: separas en dos fracciones de igual denominador. Y luego, se puede simplificar cada fracción:

         1
x²      7
--- + --- =
7x     7x

x       1
-- + --- 
7       x

25-04-11 Pregunta de michael     (DOMINIO O CONDICIÓN DE EXISTENCIA)

determinar para cuales valores de la variable no es aceptable cada expresion racional 

a)2x al cubo -x+x-y 
-------------------- 
x al cuadrado +3x-10 


b)2x al cuadrado +7x+15 
--------------------- 
2x al cubo + x al cuadrado 

Cursando:: 4 to de bachiller
Edad:: 17
Nacionalidad:: dominicana
¿Qué opinas de la web?: esta muy bien

Hola michael. En las expresiones racionales "no es aceptable" que los denominadores de las fracciones sean iguales a cero. Es decir que hay que buscar los valores de x para los cuales los denominadores dan cero, y descartarlos.

a) 2x³ - x + x - y
   ---------------- =
    x² + 3x - 10

Como el denominador es x² + 3x - 10, debemos descartar todos los valores de x que cumplen con la siguiente ecuación:

x² + 3x - 10 = 0

Y para hallar esos valores hay que resolver esa ecuación cuadrática. Como está completa voy a usar la fórmula resolvente:

x_1,2 =

          -3 +- V3² - 4.1.(-10)
x_1,2 = ----------------------
                        2.1

          -3 +- V49
x_1,2 = ----------
              2

            -3 +- 7
x_1,2 = ----------
                2

x₁ = (-3 + 7)/2 = 4/2 = 2

x₂ = (-3 - 7)/2 = -10/2 = -5

Entonces, como ésos son los únicos valores para los cuales el denominador vale cero, la expresión racional es aceptable para cualquier valor de x que no sea ni 2 ni -5. Podríamos decir que es aceptable en:

R - {2,-5}           (Todos los números Reales con excepción del 2 y el -5)


b) 2x² + 7x + 15 
   ---------------- = 
        2x³ + x² 

Lo mismo con el denominador de esta fracción:

2x³ + x² = 0

Ésa no es una ecuación cuadrática. Pero como se puede sacar factor común "x2", la podemos resolver así:

x².(2x + 1) = 0

x² = 0     ó      2x + 1 = 0

x = V0

x = 0

ó

2x + 1 = 0

2x = 0 - 1

x = -1/2

R - {0,-1/2}

14-03-11 Pregunta de Luciano           (SIMPLIFICACIÓN)

Hola necesitaria saber como se simplifica esta expresión 4x al cuadrado-4x+4/4x-4

Hola luciano.

4x² - 4x + 4
-------------- =
4x - 4

Es una fracción con polinomios en el numerador y en el denominador. Primero tienes que factorizar los polinomios, y luego simplificar los factores que son iguales, siempre cancelando uno del numerador con otro igual del denominador.

Factoreo:

Numerador:

4x² - 4x + 4 =

Allí primero se puede sacar factor común 4, queda:

4.(x² - x + 1)

Luego, podríamos tratar de factorizar x² - x + 1. Por las características del polinomio ése, podemos pensar en dos casos: Trinomio cuadrado perfecto (tercer caso) y Trinomio de segundo grado (séptimo caso). Pruebo con el primero:

x² - x + 1 =
x 1
2.x.1
2x

No se puede con el tercer caso, porque el término central debería ser 2x ó -2x, y no "-x". Así que ahora pruebo con el séptimo caso:

x² - x + 1 =

a = 1
b = -1
c = 1

x_1,2 = imagen

          -(-1) +-V(-1)² - 4.1.1
x_1,2 = ------------------------
                    2.1

         1 +-V-3
x_1,2 = --------
              2

Pero -3 no tiene raíz cuadrada porque es un número negativo. Entonces no se puede factorizar por este caso (y ya por ninguno). Así que a ese polinomio lo dejamos sin factorizar. El numerador queda así:

4.(x² - x + 1)


Denominador:

4x - 4 =

Se puede sacar factor común 4:

4.(x - 1)


Reemplazar:

Entonces ya puedo reemplazar en la fracción a los polinomios por sus equivalentes factorizados:

4.(x² - x + 1)
-------------- =
   4.(x - 1)

El único factor que quedó igual es el 4, así que sólo puedo simplificar el 4:

4.(x² - x + 1)
-------------- =         (Aquí taché los 4, pero no se pueder ver el tachado)
    4.(x - 1)

x² - x + 1
-----------
    x - 1

Éso es lo máximo que se puede simplificar. No se puede hacer más nada: La fracción queda así. Quizás pensaste que se podía seguir, y por eso tu consulta.

En la página puedes encontrar muchos otros ejemplos parecidos resueltos y explicados:

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

09-01-11 Pregunta de JESM         (SIMPLIFICACIÓN)

HOLA QUERIA SABER COMO SE SIMPLIFICA ESTE RESULTADO: 
3H CUADRADO + 12H/ H 

Hola JESM. Supongo que es:

(3h² + 12h)/h =

En el numerador puedes sacar factor común "h" o también "3h" (aunque con sacar sólo "h" ya se puede simplificar:

3h.(h + 4)/h =

Y luego se pueden simplificar la h del numerador con la del denominador:

3h.(h + 4)/h =

3.(h + 4)

27-10-10 Pregunta de Miki       (RESTA CON IGUAL DENOMINADOR)

Hola necesito ayuda con un ejercicio de expresiones algebraicas fraccionarias que no puedo resolver! estoy trabadisima.. es una resta con igual denominador.. aca va.. 

1/2x-1 (-) 2x/2x-1 

MUCHAS GRACIAS!! =)


Hola Miki. Como es resta de igual denominador, el denominador común es el mismo, entonces se resta lo del numerador. Eso seguro que ya lo sabes:



Es muy probable que te hayas trabado ahí. Parece que no se puede hacer más nada, porque el polinomio del numerador no se puede factorizar, y tampoco se puede simplificar con el denominador porque no es exactamente igual. Pero fijate que, si bien no es igual, resulta que son los mismos términos con el signo contrario y cambiados de orden:

1 - 2x
2x - 1

Si cambio el orden del primer polinomio, se ve mejor:

-2x + 1
2x - 1

Esos dos polinomios son "opuestos" (¿qué es el opuesto?), entonces se puede hacer lo siguiente:

-2x + 1 = -(2x - 1)

Le puse un signo menos delante del paréntesis y cambié los dos signos de los términos (sobre eso expliqué ya en varios casos de factoreo, sobre todo en el Segundo caso: cambiar signos). Así, lo que está entre paréntesis ahora es igual al otro polinomio. Entonces tenemos:

-(2x - 1)
2x - 1

Ahora sí hay dos polinomios iguales, por lo tanto los voy a poder simplificar:




También te puede servir consultar:

¿cómo me doy cuenta de que dos términos son opuestos y están en otro orden?

FACTOR COMÚN EN GRUPOS - EJEMPLO 5 (resultados "opuestos")

FACTOR COMÚN EN GRUPOS - EJEMPLO 6 (resultados "opuestos" y "desordenados")

16-01-10 Pregunta de Gigio:         (RESTA CON IGUAL DENOMINADOR)

Hola soy Gigio
Estoy tratando de ponerme al día con temas de matemática que no vi en la escuela y que necesito conocer para ingresar a una carrera, por ejemplo, Factoreo, que lo enseñaron "muy por arriba".
Me pasaron unos ejercicios para que los resuelva y muchos los resolví pero me estanqué en unos combinados en forma de fracción, como el siguiente:



Espero me puedan ayudar, y si tienen mas para practicar de este tipo, se los agradeceré.
Muchas gracias por su ayuda.


Atte. Gigio

Hola Gigio. Se trata de una resta de fracciones polinómicas. A este tema se le llama generalmente: "Expresiones algebraicas racionales". Y ese ejercicio que planteas es uno de los más sencillos del tema, ya que las dos fracciones tienen el mismo denominador. Entonces, tienes que "poner todo sobre el mismo denominador", y "hacer la cuenta de arriba" si es que hay algo que se pueda hacer. Así:



En el numerador no se puede hacer la resta, porque son monomios de distinto grado. Lo dejas así entonces.
Luego, te fijas si puedes aplicar casos de factoreo en el numerador y/o el denominador. Si aprendiste los casos, verás que arriba hay factor común 6x, y abajo factor común 4. Factorizo ambos polinomios por el caso "Factor Común" y entonces queda así:



Luego, como "arriba y abajo" hay multiplicaciones, podemos simplificar lo siguiente:

(x - 2) se puede simplificar con (x - 2), con lo cual desaparecen, o "se cancelan".

El 6 se puede simplificar con el 4, como en una fracción numérica, diviendo a ambos por 2. Queda 3/2.

3

 2

Y por eso el resultado final es:



O lo que es igual: 




Lo importante del tema es lo que hicimos en el primer paso. Se trataba de una resta de fracciones y el procedimiento es similar al que se sigue para sumar o restar fracciones numéricas. Por ejemplo:



Como las dos fracciones tienen el mismo denominador ("4"), el resultado tendrá el mismo denominador y hay que sumar (o restar según el caso) los numeradores:



6/4 =

Y luego, si se puede como en este caso, simplificar:

3/2

Si los denominadores eran distintos, teníamos que buscar denominador común ¿recuerdas?. Éste en general se calcula intuitivamente, pero es en realidad el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) entre los dos denominadores. Te recuerdo un ejemplo:

2/3 + 5/4 =

(8 + 15)/12

23/12

Con los polinomios se hace lo mismo: Se busca el Mínimo Común Múltiplo entre los denominadores. Eso ya es más complejo y requiere mucha más explicación, como también luego el proceso de la suma o resta. Y como tu ejemplo no es aún de ese tipo no voy a explayarme aquí sobre eso. Si luego tienes otra consulta que requiera es explicación con gusto te la daré. 

Y aquí tienes más ejercicios para practicar (todos con igual denominador como en tu ejemplo, pero un poco más complicados porque en el numerador tendrás que sumar o restar los términos de igual grado):







Y en la página ya está desarrollado completamente el tema:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES - EJERCICIOS RESUELTOS

Pregunta de José:         (SIMPLIFICACIÓN)

Tengo otra duda acerca del examen que tuve, esta vez tiene que ver con factoreo.
Me pedian que simplificara:
[(z°6-w°6)/(w°2-z°2)].[(1)/(w-z)°2]=
Bueno yo llego a simplificar factoreando pero no me queda totalmente simplificado, me queda:[(-z°4-w°2z°2+w°4).1/(w-z)°2].
No creo que ese sea el resultado, no se que estare haciendo mal.


Está bien lo que hiciste, sólo que te quedaron mal unos signos al final. Ya lo revisé tres veces y me quedaron todos negativos. Así:

(-z⁴ - w².z² - w⁴). 1/(w - z)²

Y luego, te queda mejor si haces la multiplicación. Queda así:

(-z⁴ - z².w² - w⁴) / (w - z)²

Espero haberte aclarado la duda y me alegra que te sirva la página. Hasta luego.

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES - EJERCICIOS RESUELTOS