TEMA: ECUACIONES EXPONENCIALES

21-04-11 Pregunta de Andres      (SIMPLIFICAR LA EXPRESIÓN)

Marce.
Como favor me podrias ayudar con este ejercicio, por mas que busco un ejemplo en el Baldor o en la web no encuentro nada.

[ 3^(n+4) - 6 * 3^(n+2) ] / [ 7 * 3^(n+2) ]

Hola Andrés. 

3ⁿ⁺⁴ - 6. 3ⁿ⁺²
---------------- =
     7. 3ⁿ⁺²


 Si lo que te piden ahí es resolver (tendría que haber un igual al final del ejercicio, ¿no?), es así:

3ⁿ . 3⁴ - 6 . 3ⁿ . 3²
------------------ =
      7 . 3ⁿ . 3²

Lo que hice fue separar las potencias en dos potencias, usando la propiedad de multiplicación de potencias de igual base:

3ⁿ⁺⁴ = 3ⁿ . 3⁴

Porque una multiplicación de dos potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes:

aⁿ . a^m = a^{n + m}

Lo que hice acá es usar esa propiedad "al revés". Tenía la suma de los exponentes, entonces lo separé en una multiplicación. Lo mismo hice con las otras potencias:

3^{n + 2} = 3ⁿ . 3²

Sigo con el ejercicio. Ahora resuelvo las potencias que quedaron sin "n":

3ⁿ . 81 - 6 . 3ⁿ . 9
------------------ =
      7 . 3ⁿ . 9

81. 3ⁿ - 54 . 3ⁿ
------------------ =
      63 . 3ⁿ

   27. 3ⁿ
----------- =
   63 . 3ⁿ

Ahí se pueden simplificar los números, y 3^n con 3^n, así que sólo queda:

     3
   27. 3ⁿ
----------- =
   63 . 3ⁿ
    7

  3/7

06-12-10 Pregunta de marina

500. (3/2) elevado a la t = 100(5/4)elevado a la t.. necesitaria saber que da y como resolverlo

Hola marina.

500.(3/2)^t = 100.(5/4)^t

Esta ecuación exponencial la puedes resolver aplicando logaritmo en ambos miembros:

log [500.(3/2)^t] = log [100.(5/4)^t]

Y luego, aplicando las Propiedades de los logaritmos. Primero voy a aplicar la Propiedad del logaritmo de un producto (multiplicación):

log 500 + log (3/2)^t = log 100 + log (5/4)^t

(ver Propiedad)

Luego, quedan logaritmos de números (log 500 y log 100), que ya podemos resolver. Como apliqué logaritmos en base 10, se pueden resolver con la calculadora. Y en los otros términos aplico la Propiedad del logaritmo de una potencia (ver Propiedad), con la que el exponente t "sale afuera del logaritmo":

2,7 + t.log (3/2) = 2 + t.log (5/4)

Ahora tengo más logaritmos que puedo resolver, pues ya no tienen la letra "t". Son logaritmos de números (log(3/2) y log(5/4)), que se pueden resolver con la calculadora:

2,7 + t.0,176 = 2 + t.0,097

Y ya quedó una ecuación sin logaritmos:

0,176.t - 0,097.t = 2 - 2,7

0,079.t = -0,7

t = -0,7 : 0,079

t = -8,86


Propiedades de los logaritmos que usé:

1) Logaritmo de un producto (o multiplicación):

Log (a.b) = log (a) + log (b)

"El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de cada número que estoy multiplicando"

2) Logaritmo de una potencia:

Log a^x = x.log(a)

"Si tengo el logaritmo de algo elevado a un exponente, saco el exponente multiplicando afuera del logaritmo"



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