RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: FUNCIONES  - FUNCIÓN INVERSA

22-04-11 Pregunta de irma         (INVERSA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA)

por favor quisiera que me ayuden a resolver la inversa de la funcion f(x)=2x2(al cuadrado)+3x

Hola irma.

f(x) = 2x² + 3x

Para que una función tenga inversa, tiene que ser "biyectiva". No sé si te enseñaron eso, porque depende del nivel, el curso, etc., a veces no se habla nada de eso y simplemente te dan una función y lo único que quieren es que encuentres la fórmula de la inversa, sin aclarar cuál debe ser su Dominio para que la función sea "biyectiva". Así que vamos a empezar por la fórmula, y dejamos para lo último lo de las restricciones que hay que poner para que la función sea biyectiva (que a lo mejor eso ni te lo piden).

Para encontrar la fórmula de la función inversa, se suele hacer un "cambio de variables" (poner la x en la lugar de la y, y viceversa). Se puede hacer de dos formas:

- Primero despejar la x, y luego intercambiar las variables
- Primero intercambiar las variables y luego despejar la y

Y una vez me tocó una cátedra donde no se intercambiaban las variables, sino que se definía a la función inversa con la x en lugar de la y; pero me parece que eso no es frecuente encontrarlo.

Lo voy a hacer con el primer procedimiento:

f(x) = 2x² + 3x entonces:

y = 2x² + 3x

1) Despejando la x:

En esta función en particular, ésta es la parte más complicada del ejercicio. Porque hay un término con x² y otro con x, entonces despejar eso lleva su trabajo. La fórmula de esa función está dada en su forma "polinómica", y hay que pasarla a la forma "canónica", porque ahí tendremos una sola vez la "x".

Para pasar a la forma canónica se pueden seguir distintos procedimientos:

- Completar cuadrados (o completar el trinomio)
- Hallar el vértice mediante fórmulas, ya que necesitamos las coordenadas del vértice para escribir la fórmula canónica.

Como completar cuadrados es un método un poco complicado de explicar (igual ya lo hice en varias consultas, pero sobre circunferencia, elipse, etc. Ver aquí: completar cuadrados); y encima éste sería un caso particular donde falta un término, me parece mejor hacerlo con el segundo procedimiento: hallar el vértice mediante fórmulas.

Pasaje de la forma polinómica a la forma canónica:

Recordemos cómo es la forma canónica de la función cuadrática:

y = a.(x - x_v)² + y_v

Donde "a" es el coeficiente principal (el número que acompaña a la x² en la forma polinómica); x_v es la coordenada "x" del vértice (o también la x por donde pasa el eje de simetría), e y_v es la coordenada "y" del vértice.

Vértice:

x_v = -b/2a

Y como la forma polinómica era:

y = 2x² + 3x

Vemos que:

a = 2
b = 3

Así que:

x_v = -3/(2.2)

x_v = -3/4

Y la y_v se calcula reemplazando con la x_v en la fórmula de la función:

y = 2x² + 3x

y_v = 2x_v² + 3x_v

y_v = 2.(-3/4)² + 3.(-3/4)

y_v = 2.(9/16) - 9/4

y_v = 9/8 - 9/4

y_v = -9/8

Y el coeficiente principal "a" ya lo tenemos: a = 2. Así que la fórmula canónica es:

y = 2.(x - (-3/4))² + (-9/8)

y = 2.(x + 3/4)² - 9/8       (FORMA CANÓNICA)

Ahora sí se puede despejar la x:

y + 9/8 = 2.(x + 3/4)²

(y + 9/8)/2 = (x + 3/4)²

V(y + 9/8)/2 = (x + 3/4)

V(y + 9/8)/2 - 3/4 = x


2) Intercambiar variables:

Nos quedó que:

x = V(y + 9/8)/2 - 3/4

Intercambiamos x por y:

y = V(x + 9/8)/2 - 3/4

Y ésa es la fórmula de la función inversa:

f^-1(x) = V(x + 9/8)/2 - 3/4      (FÓRMULA DE LA FUNCIÓN INVERSA)

Si sólo te pedían la fórmula, ahí se termina el ejercicio. Si te piden también el Dominio e Imagen, sigue:


Restricción del Dominio:

Te había comentado que, para que una función tenga inversa, tiene que ser biyectiva. Si no sabes eso es un poco largo de explicar y no es rápido de entender, simplemente te digo que se tienen que cumplir dos cosas:

- A todos los distintos valores de "x" del Dominio, les tiene que corresponder un valor distinto de "y" del Codominio.

- La Imagen tiene que ser igual al Codominio.

Acá lo del Codominio no tiene importancia, porque en este ejercicio que ten dieron no te dan un Codominio ni un Dominio: sólo te dan la fórmula. Así que el Dominio es el "Dominio natural" (todos números Reales a los que se le puede aplicar la fórmula), y como Codominio tomamos la Imagen (así que se cumple que Imagen = Codominio). Si no conoces sobre eso te digo que no son conceptos que puedan explicarse así con ligereza, por eso no te sigo hablando de eso. Sólo te digo que, en un ejercicio así, si te pidieran que determines el Dominio y la Imagen de la función inversa (y también la original), se hace así:

Dominio de f(x) para que sea biyectiva:

En general, una función cuadrática no es Biyectiva en su Dominio Natural (el conjunto de los Reales). Porque casi siempre hay dos valores de "x" para los cuáles el valor de "y" es el mismo. Por ejemplo, en nuestra función:

f(x) = 2x² + 3x

f(1/4) = 2.(1/4)² + 3.(1/4) = 2.(1/16) + 3/4 = 7/8

f(-7/4) = 2.(-7/4)² + 3.(-7/4) = 2.(49/16) - 21/4 = 7/8

Dá igual cuando le aplicamos la función a dos números diferentes: x = 1/4 y x = -7/4. Una función con la que pasa eso no es biyectiva. Pero podemos "restringir el Dominio", es decir: buscar otro Dominio más chico (Subconjunto del Dominio Natural), en donde sí sea biyectiva. Eso es, definirla con un Dominio donde no haya dos valores diferentes de "x" para los cuales la función dé igual.

Y en una función cuadrática, eso se puede hacer fácilmente. Piensa en la gráfica de la función cuadrática: es una parábola. El Eje de Simetría la divide en dos ramas. Si tomamos una sola rama de la parábola, tenemos el gráfico de una función biyectiva. Si definimos la función poniendo como Dominio el Intervalo que abarca una sola de las ramas, logramos que para cada valor de x haya un solo valor de "y", y así la función sea biyectiva. Y ése intervalo es fácil de determinar, porque podemos hallar la x por donde pasa el Eje de Simetría. Con esta fórmula por ejemplo (la misma que sirve para hallar la xv):

x = -b/2a         (EJE DE SIMETRÍA)

Que ya lo hicimos antes, y dá:

x = -3/4

El Eje de Simetría divide al eje x (todos los Reales), en dos partes:

(-∞;-3/4)          (Rama decreciente de la parábola)

(-3/4;+∞)         (Rama creciente de la parábola)

Si tomamos uno de ellos como Dominio, la función es biyectiva. Así restringimos el Dominio. Entonces, para buscar la función inversa, debemos aclarar que:

Dominio (f): (-3/4;+∞)        (por ejemplo, yo elegí ése)

Imagen (f): (-9/8;+∞)

Aclaremos que la Imagen de una función cuadrática es "desde la y_v para arriba o desde la y_v para abajo, según las ramas apunten hacia arriba o hacia abajo". Bien dicho sería: "El intervalo (y_v;+∞), si a > 0 ó el intervalo (-∞;y_v), si a < 0". Como en nuestra función a = 2 > 0, la imagen es (-9/8;+∞)

Así que, para poder definir la función inversa, definimos a f como:

f(x): (-3/4;+8) ----> (-9/8;+8) / f(x) = 2x² + 3x

Y entonces la función inversa (de la que ya encontramos la fórmula), es:

f^-1(x) : (-9/8) ------> (-3/4;+8) / f^-1(x) = V(x + 9/8)/2 - 3/4

Ya que el Dominio de la función inversa f^-1 debe ser la Imagen de la función f, y viceversa.