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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: FUNCIONES POLINOMICAS - TEOREMA DEL RESTO - RAICES - GRAFICO

09-01-11 Pregunta de madelaine7:

1.Dada la función 
f(x)=2x^(3)+7x^(2)-7x-12 
a) Halle los ceros de f 
b) Determine los valores de x para f(x)>0 

Hola de nuevo madelaine7. Vamos ahora con este otro ejercicio que me consultaste:

a) Nos dan la función polinómica:

f(x) = 2x3 + 7x2 - 7x - 12

Y nos piden hallar los ceros. Los ceros o raíces de una función son las "x" para las cuales la "y" (ó f(x)) vale cero. Es decir: son los números a los cuales, si le aplicas la función, el resultado dá cero. Se pueden hallar "igualando a cero" la fórmula de la función, que es lo mismo que "reemplazar por cero" a la "y" o a f(x) de la fórmula:

2x3 + 7x2 - 7x - 12 = 0

Entonces se trata de hallar las "x" que verifican esa ecuación. Como es una ecuación de tercer grado, que además tiene términos de grado 2 y grado 1, y un término independiente, no se puede despejar la "x", ni usar la fórmula resolvente de la cuadrática en un principio. Pero se podría factorizar todo el polinomio para ver sus raíces (que además va a servir para el otro paso). Empiezo con el Teorema de gauss:

Divisores de término independiente: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12.

Ahí ya tengo una buena cantidad de posibles raíces según gauss, así que voy a probar. Viste que para saber si un número es raíz de un polinomio tenemos al menos dos procedimientos: 1) Reemplazar la x del polinomio por la presunta raíz, y si dá cero es porque sí es raíz. 2) Dividir por (x - supuesta raíz), y el resto de la división tiene que dar cero. Por comodidad, uso el procedimiento 1):


f(x) = 2x3 + 7x2 - 7x - 12

f(1) = 2.13 + 7.12 - 7.1 - 12 = 2 + 7 - 7 - 12 = 2 - 12 = -10      (El 1 no es raíz)

f(-1) = 2.(-1)3 + 7.(-1)2 - 7.(-1) - 12 = -2 + 7 + 7 - 12 = 0        (El -1 es raíz)

Encontré una raíz: x = -1. Así que el polinomio es divisible por (x + 1). Hago la división por Ruffini:

     |   2     7    -7     -12
     |
     |
     |
-1  |        -2     -5      12
_____________________________
        2      5     -12  |  0 

Cociente: 2x2 + 5x - 12

Así que:

f(x) = (x + 1).(2x2 + 5x - 12)

(Consultar el caso de factoreo que usa el Teorema de gauss)

Luego, podría factorizar 2x2 + 5x - 12 por el Séptimo caso (Trinomio de segundo grado), o también por gauss. Uso el Séptimo caso:

2x2 + 5x - 12 = 0

a = 2
b = 5
c = -12

x =




x1 = (-5 + 11)/4 = 6/4 = 3/2

x2 = (-5 - 11)/4 = -16/4 = -4

Como en el Séptimo caso se factoriza según esta fórmula:

a.(x - x1).(x - x2)

queda:

2.(x - 3/2).(x - (-4))

2.(x - 3/2).(x + 4)

Así que el polinomio totalmente factorizado (más no se puede pues quedaron términos de grado 1), queda así:

(x + 1).2.(x - 3/2).(x + 4)         ó    mejor:

2.(x + 1).(x - 3/2).(x + 4)


Ahora volvemos a la ecuación que queríamos resolver. Con el polinomio ya totalmente factorizado, la ecuación es así:

2.(x + 1).(x - 3/2).(x + 4) = 0

Pero ahí tenemos un producto (multiplicación) de varios factores. Y una multiplicación dá cero, cuando alguno de los factores es cero. Así que:

2 = 0   (imposible)       ó

(x + 1) = 0     ó sea:

x = -1

ó

(x - 3/2) = 0   ó sea:

x = 3/2

ó

(x + 4) = 0     ó sea:

x = -4

Entonces, las soluciones de la ecuación son:

x = -1
x = 3/2
x = -4


Y entonces son ésos los ceros o raíces de la función. Quiere decir que, cuando reemplace en la fórmula de la función con alguno de esos números, es resultado de las cuentas va a dar cero. Y que si trazo la gráfica de la función, ésta va a cortar al eje "x" en esos valores.

También hay otra forma de pensar esto de las raíces o ceros, sin necesidad de plantear la ecuación con el polinomio factorizado. Porque fijate que lo que hice en el procedimiento fue ir encontrando las raíces para factorizar al polinomio. Pero si ya encontré las raíces ¿para qué ponerlo factorizado y resolver la ecuación?. Bueno, lo factoricé más que nada porque me sirve así para el punto siguiente que es una inecuación. Y también para mostrarte como se resuelve en general una ecuación que es un producto igualado a cero. Pero aclaremos cuándo encontré las raíces:

La primera raíz la encontré por el Teorema de gauss: -1

Luego, con la fórmula resolvente lo que se encuentra justamente son las raíces del polinomio de segundo grado, así que en el resultado de la resolvente puedo ver las otras dos raíces: x1 = 3/2, x2 = -4. Y ya está. No hacía falta hacer más nada para hallar los ceros o raíces: eran ésos.


b) Acá tenemos que encontrar los valores de "x" para los cuales f(x) > 0. Me conviene escribir esa inecuación con el polinomio ya factorizado:

2.(x + 1).(x - 3/2).(x + 4) > 0

Y ahora hay que resolver esa inecuación. Primero paso el 2 al otro miembro, para ya descartar algo. Como el 2 es un número positivo, la desigualdad no va a cambiar (sigue con el signo ">" (mayor)):

(x + 1).(x - 3/2).(x + 4) > 0:2

(x + 1).(x - 3/2).(x + 4) > 0

Ahora podemos usar la "regla de los signos" para resolver esa ecuación. Porque "> 0" (mayor que cero) significa lo mismo que "positivo". Esa ecuación es una multiplicación que dá positivo. Y cuando una multiplicación de 3 factores dá positivo. Tenemos varias posibilidades, según la regla de los signos:

+ . + . + = +
+ . - . - = +
- . + . - = +
- . - . + = +

Me parece que si planteamos esas 4 posibilidades en inecuaciones se va hacer un poco muy largo. Mejor podemos hacerlo con otro procedimiento (que se suele usar también):

Sabemos que (x + 1).(x - 3/2).(x + 4) dá cero en -1, 3/2 y -4 (por el punto anterior). Si recordamos que el polinomio es la fórmula de una función, podemos darnos cuenta de que entonces, en los intervalos que delimitan esos puntos, la función va a dar: o mayor que cero ó menor que cero (positivo o negativo). Así que podemos analizar todos los intervalos que quedan delimitados, probando algún valor que pertenezca, y viendo si dá negativo o positivo:


< ----------|-------------|---------|-------------------- >
-∞            -4                -1           3/2                          +∞

En la recta numérica podemos ver los intervalos que quedan delimitados por esos números:

(-∞ ; -4)
(-4 ; -1)
(-1 ; 3/2)
(3/2 ; +∞)

Para ver si la función dá mayor o menor que cero en cada uno (positivo o negativo), pruebo con un valor de cada intervalo:

(-∞ ; -4)

Pruebo con -5, que pertence a ese intervalo:

f(x) = 2.(x + 1).(x - 3/2).(x + 4)

f(-5) = 2.(-5 + 1).(-5 - 3/2).(-5 + 4) = 2.(-4).(-13/2).(-1) < 0

No hace falta hacer la cuenta para saber si eso dá positivo o negativo. Por la regla de los signos podemos deducir que dá negativo (<0), porque: +.-.-.- = - (Ésa es la practicidad de tener el polinomio factorizado. En realidad también lo podíamos hacer con el polinomio sin factorizar, pero exigiría hacer todas las cuentas. Además, así se ve mejor el tema de los límites de los intervalos, ya que esos números "se ven" en el polinomio factorizado).


(-4 ; -1)

Pruebo con -3, que pertenece a ese intervalo:

f(-3) = 2.(-3 + 1).(-3 - 3/2).(-3 + 4) = 2.(-2).(-9/2).(1) > 0 (Porque +.-.-.+ = +)

Ahí ya encontramos un intervalo donde f(x) > 0


(-2 ; 3/2)

Pruebo con el 0, que pertenece a ese intervalo:

f(0) = 2.(0 + 1).(0 -3/2).(0 + 4) = 2.(1).(-3/2).(4) < 0       (Porque +.+.-.+ = -)


(3/2 ; +∞)

Pruebo con el 2, que pertenece a ese intervalo:

f(2) = 2.(2 + 1).(2 - 3/2).(2 + 4) = 2.(3).(1/2).(6) > 0       (Porque +.+.+.+ = 0)

Así que en este intervalo también f(x) > 0

Así que f(x) > 0 en:

(-4 ; -2) U (3/2 ; +∞)



30-10-10 Pregunta de Silvia 

hola Marce podrias ayudarme en esto¡¡¡¡¡ gracias¡¡¡

P(x) =2X a la 3 +ax a la 2 +(-3a +b)x+8.

a) hallar a y b sabiendo que P(2)=12 y que P(x) es dividido (x+3) da resto 32
b) resolver P(x)=0 y escribir descompocicion factrial
c) detrerminar corte con OY, signo y realizar un bosquejo del grafico asociado a P(x)

Hola Silvia. 

P(x) = 2x3 + ax2 + (-3a + b)x + 8

Y te dicen que P(2) = 12. Entonces hacemos "P(2)" y lo igualamos a 12. Hacer
 "P(2)" es reemplazar todas las x del polinomio por el número 2. Se le dice "especificar al polinomio en 2", o si piensas en en tema funciones, es reemplazar el valor de x para hallar el valor de y.

P(2) = 2.23 + a.22 + (-3a + b).2 + 8

Ves que reeemplacé todas las x, y sólo quedaron números y las letras "a" y "b". Y me decían que eso es igual a 12, así que:

2.23 + a.22 + (-3a + b).2 + 8 = 12

2.8 + a.4 - 6a + 2b + 8 = 12

16 + 4a - 6a + 2b = 12 - 8

-2a + 2b = 4 - 16

-2a + 2b = -12

Y eso es una ecuación con dos incógnitas: "a" y "b", que es justamente lo que me piden hallar en el primer punto ("hallar a y b").

Pero una sola ecuación con dos incógnitas no alcanza para hallar el valor numérico de las incógnitas. Se necesita otra ecuación: con 2 ecuaciones y 2 incógnitas sí se puede. Por eso también te dan otro dato:

P(x) dividido (x + 3) dá como resto 2.

Eso, significa que P(-3) = 32

Eso es por el Teorema del Resto, que dice algo así: "El resto de dividir un polinomio por otro de la forma (x + a), es igual a P(-a)". Fijate que aquí el 3 es el que hace de "a". Según el Teorema, el resto de dividir a P(x) por (x + 3), es igual a P(-3). Y como me está diciendo ya el valor del resto: 32, entonces:

P(-3) = resto (por el teorema) = 32 

Sabiendo eso, hago lo mismo que antes. Calculo P(-3) y lo igualo a 32:

P(x) = 2x3 + ax2 + (-3a + b)x + 8

P(-3) = 2.(-3)3 + a.(-3)2 + (-3a + b).(-3) + 8

Así que:

2.(-3)3 + a.(-3)2 + (-3a + b).(-3) + 8 = 32

2.(-27) + a.9 + 9a - 3b = 32 - 8

-54 + 9a + 9a - 3b = 24

18a - 3b = 24 + 54

18a - 3b = 78


Entonces tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Podemos formar un sistema y resolverlo por alguno de los métodos conocidos. Lo hago por Sustitución:

Sistema de ecuaciones

-2a + 2b = -12
2b = -12 + 2a
b = (-12 + 2a)/2
b = -6 + a

18a - 3.(-6 + a) = 78
18a + 18 - 3a = 78
15a = 78 - 18
15a = 60
a = 60:15
a = 4

b = -6 + a
b = -6 + 4
b = -2

La respuesta al primer punto es, entonces: a = 4 y b = -2


b) resolver P(x)=0 y escribir descomposicion factorial

Primero reemplazo "a" y "b" con los valores del punto anterior, para ver cómo es el polinomio ya sin esas letras:

P(x) = 2x3 + ax2 + (-3a + b)x + 8 = 

P(x) = 2x3 + 4x2 + (-3.4 + (-2))x + 8

P(x) = 2x3 + 4x2 + (-12 - 2)x + 8

P(x) = 2x3 + 4x2 - 14x + 8

Ése entonces es el polinomio con el que voy a hacer todo lo que me piden.

Me piden que resuelva P(x) = 0, entonces planteo:

P(x) = 0

2x3 + 4x2 - 14x + 8 = 0

Quedó una ecuación de grado 3. En una ecuación como esta hay que factorizar todo lo posible al polinomio, para luego igualar sus factores a cero (después lo verás). Ese polinomio podría factorizarse por el "método de gauss", y eso está explicado en la página: EJEMPLO 1 - FACTOREO CON GAUSS. Yo ya te lo doy factorizado (pero tú tienes que presentar el procedimiento, espero que puedas hacerlo con la explicación que se dá en la página, no te lo hago aquí pues ya se haría muy largo y doy por supuesto que al estar viendo este tema ya sabes factorizar por todos los casos):

2.(x - 1).(x - 1).(x + 4) = 0

Y una ecuación así se resuelve usando este concepto: Un producto (multiplicación) es igual a cero cuando alguno de los factores es igual a cero. Es decir que:

x - 1 = 0 ó x - 1 = 0 ó (x + 4) = 0 (Está claro que 2 no puede ser igual a cero). Entonces resuelvo cada una de esas ecuaciones. Hay dos que son iguales así que lo hago una sola vez:

x - 1 = 0
x = 1

x + 4 = 0
x = -4

Las soluciones de la ecuación son, entonces: x = 1 y x = -4. Y la "descomposición factorial" también ya la hicimos (fue necesario para resolver la ecuación), es:

P(x) = 2.(x - 1).(x - 1).(x + 4)

Pero podemos juntar los dos (x - 1) en un cuadrado, así que más correcto sería:

P(x) = 2.(x - 1)2.(x + 4)


c) determinar corte con OY, signo y realizar un bosquejo del grafico asociado a P(x):

Para averiguar dónde el gráfico de una función corta al eje y, hay que calcular F(0), o P(0) en este ejemplo. Así que:

P(x) = 2x3 + 4x2 - 14x + 8

P(0) = 2.03 + 4.02 - 14.0 + 8

P(0) = 0 + 0 + 0 + 8

P(0) = 8

Es decir que corta al eje y en y = 8. El punto completo con sus dos coordenadas es: (0,8) (depende de cómo acostumbren a ponerlo, lo respondes de alguna de esas dos maneras)

Y cuando te pide "signo", es para poder hacer el gráfico. Hay que determinar el "signo" de la función en todos los intervalos que quedan delimitados cuando uno marca los ceros de la función en el gráfico (los ceros o raíces de la función son las soluciones a F(x) = 0 que hallamos en el punto b: x = 1 y x = -4). Te hago un pequeño esquema para que se puedan ver los intervalos en los que tenemos que hallar "el signo" de P(x) (se llaman intervalos de positividad y negatividad):


<---------------|-------------------------|-------------------->
-∞                 -4                                   1                          +∞


Los intervalos que quedan limitados cuando marco los ceros son:

(-∞ ; 4)
(-4 ; 1)
(1 ; +∞)

Para averiguar el signo de P(x) en esos intervalos se puede usar inecuaciones, o probar algún valor del intervalo para ver si dá positivo o negativo. Lo hago con este último método pues es más práctico en caso de este polinomio, además lo suelen hacer así. 

- Elijo un valor cualquiera del intervalo (-∞ ; 4), por ejemplo, "-5":

P(x) = 2x3 + 4x2 - 14x + 8

P(-3) = 2.(-5)3 + 4.(-5)2 - 14.(-5) + 8 = 2.(-125) + 4.25 + 70 + 8 = -250 + 50 + 78 = -122 < 0 (negativo)

Es decir "el signo" de la función en ese intervalo es "negativo". En el gráfico, vamos a dibujar la curva por debajo del eje x en ese intervalo.

- Elijo un valor cualquiera del intervalo (-4 ; 1), por ejemplo, "0":

P(0) = 8 > 0 (positivo) (Ya lo había hecho para averiguar el corte con el eje Y. Sino había que reemplazar todas las x por 2 y hacer las cuentas, como hice para P(-3)).

El signo también dió positivo. En el gráfico dibujaré la curva por encima del eje x en ese intervalo.

- Elijo un valor cualquier del último intervalo: (1 ; +∞), por ejemplo, "2":

P(2) = 12 > 0 (positivo) (Ya lo sabía porque era uno de los datos). Sino había que reemplazar todas las x por 2 y hacer las cuentas, como hice para P(-3)

También dió positivo. También va por encima del eje x.

Y ahora, con los ceros o raíces (x = -4 y x = 1), el corte con el eje y (0,8), y los signos de cada intervalo, voy a hacer el gráfico aproximado. Ten en cuenta que aún no consigo un programa para hacer gráficos, así que lo dibujaré como pueda para que te sirva de orientación. Bueno, por los valores se me hizo imposible respetar la escala, pero la forma de la curva es ésa. Lo que pasa es que el 8 tendría que estar más arriba (es el doble que la distancia del -4 al 0), o el -4 más cerca del eje x, pero si lo ponía así no podía dibujar la curva con el mouse, lo siento. Espero que igual te sirva de guía:

Funciones polinomicas



TEMA: FUNCIONES - RAICES O CEROS DE UNA FUNCIÓN.


05-07-10 Pregunta de Miroslava Sandoval

Buenas tardes, he visitado la página y el contenido me ha parecido muy bueno.
Me gustaría saber cuál es la diferencia entre una raíz simple y una raíz repetida de una función.
Gracias!

Te lo muestro con un ejemplo. En la siguiente función polinómica, completamente factorizada según sus raíces:


f(x) = 3.(x - 2).(x - 1).(x - 3).(x - 1)

las raíces son:

x = 2 (raíz simple)
x = 1 (raíz repetida)
x = 3 (raíz simple)

La raíz x = 1 es "repetida", porque en la factorización el binomio (x - 1) está dos veces. En cambio las raíces x = 2 y x = 3 son "simples", porque en la factorización el binomio (x - 2) está una sola vez, y lo mismo para el binomio (x - 3).

En el gráfico de la función también se puede ver una diferencia entre raíz simple y repetida. Sabrás que las raíces son los puntos donde la gráfica (una curva en este caso) de la función "corta" o "toca" (intersecta) al eje x. Es decir: las raíces son los puntos de intersección entre la gráfica de la función y el eje de las x. Bueno, en las raíces simples se puede ver que la curva corta al eje x y continúa su camino hacia arriba o hacia abajo. En cambio, en las raíces dobles (o "repetidas"), la curva "toca" al eje x pero no cruza hacia el otro lado, sino que "rebota" hacia el mismo lado (arriba o abajo, según de donde viniera). La siguiente imagen te muestra cómo se intersectan con el eje x las raíces simples y las raíces dobles:

Raices simples y raices dobles

En el caso de una función cuadrática (como la de los gráficos de la imagen), puedes encontrar que la función tiene: Dos raíces simples (la gráfica corta al eje x en dos puntos). Una raíz doble (la gráfica corta o "rebota" con el eje x en un solo punto), o no tiene raíz (la gráfica no corta al eje x). Eso depende de cuántos resultados diferentes encuentres cuando resuelves la ecuación para encontrar los ceros de la función:

1) Si la ecuación te dá dos resultados diferentes, la función tiene dos raíces simples.

2) Si la ecuación te dá dos resultados iguales, la función tiene una raíz doble.

3) Si la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números Reales, la función no tiene raíces.

Ejemplo de la situación 1):

f(x) = x2 - 4

x2 - 4 = 0             Ecuación que hay que plantear para hallar las raíces
x2 = 0 + 4
x2 = 4
x1 = 2
x2 = -2
        Son dos raíces diferentes


Ejemplo de la situación 2):

f(x) = x2 - 6x + 9

Como tiene tres términos es mejor usar la fórmula resolvente:

x2 - 6x + 9 = 0

x1,2 = Resolvente con un solo resultado
x1 =
x2 =             Es una raíz doble


Ejemplo de la situación 3):

x2 + 1 = 0
x2 = 0 - 1
x2 = -1           No tiene solución en el conjunto Reales. La función no tiene raíces.

Se puede saber si una función cuadrática tiene dos, una o ninguna raíz, mediante el discriminante de la fórmula resolvente. Si quieres saber sobre eso consulta aquí: DISCRIMINANTE.

Espero que esto conteste tu pregunta, y sino puedes volver a consultar cualquier duda que tengas.





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