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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: INECUACIONES "COMBINADAS"

13-04-11 Pregunta de max ivan        (CON MÓDULO Y RACIONALES)

Hola, su web es espectacular, me ayudo a sacarme muchas dudas.
Por favor necesitaria la respuesta y los procedimiento del siguiente ejercicio.

Resolver la siguiente desigualdad:

¦x+1- ¦
¦------¦ < 1
¦2x+5 ¦  ¯ 

Gracias.

Cursando:: Pre-Universitario
Edad:: 24
Nacionalidad:: Argentina

Hola max. Ahí tenemos una inecuación con módulo, pero además dentro del módulo hay una fracción con x en el denominador, así que la complicación se hace doble: hay que saber resolver inecuaciones con módulo e inecuaciones racionales. 

Primero debes saber que para resolver una ecuación con módulo se pueden usar las siguientes propiedades:

1) |x| < a   --->   -a < x < a            (siendo "a" un número positivo)

Eso significa: "Si el módulo de algo es menor que un número "a" positivo, lo que está dentro del módulo es mayor que el opuesto de a (-a), y menor que a. Por ejemplo:

|x| < 5   --->   -5 < x < 5

"Si módulo de x es menor que 5, entonces "x" es un número que está entre -5 y 5"aa


2) |x| > a  --->  x < - a    ó    x > a        (siendo "a" un número positivo)

(ojo que a veces esas propiedades se enuncian de distinta forma, o también se resuelven las ecuaciones con módulo sin usar esas propiedades (usando la definición de módulo))

Eso significa: "Si el módulo de algo es mayor que un número "a" positivo, lo que está dentro del módulo es menor que el opuesto de a (-a) o es mayor que a. Por ejemplo:

|x| > 8  --->  x < -8  ó  x > 8

"Si módulo de x es mayor que 8, entonces "x" es un número menor que -8 o es un número mayor que 8"

Y lo mismo vale para <= o >= por supuesto.

Entonces, para resolver una inecuación con módulo se aplica eso:

| x + 1 |
|------| <= 1
|2x + 5|

             x + 1
-1 <=  ------  <= 1
            2x + 5

(Usé la propiedad para "menor")

Y ésa es una "inecuación doble". Como es racional la voy a separar en dos inecuaciones (sino se hace muy complicado resolver las dos simultáneamente), para que se entienda mejor. Esa inecuación doble es lo mismo que estas dos:

           x + 1           x + 1
-1 <=  -------    y   ------ <= 1
          2x + 5          2x + 5

Las soluciones son todos los x que cumplan con las dos inecuaciones. Voy a resolverlas de a una:

PRIMERA CONDICIÓN:

           x + 1
-1 <=  -------      o, lo que es igual:
          2x + 5 

 x + 1
------- >= -1    (prefiero escribirla al revés, se entiende mejor)
2x + 5

Y ésa es una ecuación racional. No se puede pasar el (2x + 5) multiplicando, porque no se sabe si (2x + 5) es mayor o menor que cero (eso depende del valor de x). Y hay que recordar que en las inecuaciones, cuando se pasa un número negativo que está dividiendo (o multiplicando), hay que invertir el símbolo de la desigualdad (de mayor a menor, o viceversa). En cambio si el número es positivo no hay que invertirla. Por eso no lo podemos pasar: porque según sea x, hay que invertir o no.

Como no se puede pasar el denominador, hay que hacer otra cosa. La forma en que más frecuentemente se hacen estas inecuaciones racionales es así:

Primero pasamos todos los términos de un lado, y que quede solamente cero del otro:

 x + 1
------- + 1 >= 0
2x + 5

Luego, como quedaron varios términos, juntamos todo en una sola fracción. Es decir que hay que buscar denominador común y sumar o restar las fracciones:

x + 1 + 1.(2x + 5)
------------------ >= 0
2x + 5

x + 1 + 2x + 5
-------------- >= 0
2x + 5


3x + 6
------ >= 0
2x + 5


Y ahora hay que usar lo siguiente:

Una fracción es mayor o igual que cero (positiva o cero), cuando:

- El numerador y el denominador son mayores que cero (positivos).

- El numerador y el denominador son menores que cero (negativos).

Y eso es por la regla de los signos para la multiplicación y la división:

"más por más, dá más"
"menos por menos, dá más"

Por ejemplo:

+5         5
--- = + ---
+3         3

Porque "más por más, dá más"

-7         7
--- = + ---
-2         2

Porque "menos por menos, dá más"

Así que, si:

3x + 6
------- >= 0
2x + 5

es porque:

1) 3x + 6 > = 0    y    2x + 5 > 0       (Los dos son positivos)

(Nota: El denominador no puede ser cero. Por eso va sin el igual)

ó

2) 3x + 6 < = 0    y    2x + 5 < 0        (Los dos son negativos)

Entoces hay que ver qué soluciones obtenemos en cada una de esas alternativas:

ALTERNATIVA 1:

3x + 6 > = 0     y     2x + 5 > 0

3x >= 0 - 6      y      2x > 0 - 5

x >= -6/3        y        x > -5/2

x >= -2           y        x > -5/2

Si graficas eso en la recta numérica:

interseccion de intervalos
verás que se cumplen las dos condiciones en el intervalo:

[-2;+∞)

Porque es la intersección de los dos intervalos (allí están los números que pertenecen a ambos intervalos, es decir que cumplen con las dos condiciones)


ALTERNATIVA 2:

3x + 6 < = 0    y    2x + 5 < 0

x <= -2           y    x < -5/2 

Y si se grafica en la recta numérica:

interseccion de intervalos

 se ve se cumplen las dos condiciones en el intervalo intersección:

(-∞;-5/2)


JUNTANDO LAS SOLUCIONES DE LAS DOS ALTERNATIVAS DE LA PRIMERA CONDICIÓN:

Entonces, para la primera condición tenemos que x debe pertenecer a uno de estos dos intervalos: [-2;+∞) ó (-∞;-5/2). Como son dos intervalos separados (conjuntos disjuntos), eso se expresa como una unión de conjuntos:

[-2;+∞) U (-∞;-5/2)                SOLUCIÓN DE LA PRIMERA CONDICIÓN

union de intervalos

Ésa es la solución de la primera condición. Pero además debe cumplirse la segunda condición del módulo (la otra mitad de la inecuación que separé al principio):


SEGUNDA CONDICIÓN:

x + 1
------ <= 1
2x + 5 

Y ahora seguimos el mismo procedimiento que antes, ya que es otra inecuación racional:

x + 1
------ - 1 <= 0
2x + 5 

x + 1 - 1.(2x + 5)
------------------ <= 0
2x + 5

x + 1 - 2x - 5
-------------- <= 0
2x + 5

-x - 4
------- <= 0
2x + 5

Ahora podemos usar lo de la regla de los signos. Una fracción es menor que cero cuando:


- El numerador es mayor que cero (positivo) y el denominador es menor que cero (negativo), ó

- El numerador es menor que cero y el denominador es mayor que cero.

Porque:

- "más por menos: dá mas"
- "menos por más: dá menos"

ALTERNATIVA 1 DE LA SEGUNDA CONDICIÓN:

-x - 4 >= 0    y    2x + 5 < 0 

-x >= 4         y         2x < -5

x <= -4 y x < -5/2

Grafica eso y verás que la intersección de esos dos intervalos es:

(-∞;-4)


ALTERNATIVA 2 DE LA SEGUNDA CONDICIÓN:

-x - 4 <= 0      y     2x + 5 > 0

-x <= 4           y      2x > -5

x >= -4           y       x > -5/2

Graficamos eso y vemos que la intersección es:

(-5/2;+∞)


JUNTANDO LAS SOLUCIONES DE LAS DOS ALTERNATIVAS:

Grafica los dos intervalos: (-∞;-4] y (-5/2;+∞) y verás que quedan separados. Así que eso se expresa como:

(-∞;-4] U (-5/2;+∞)

(Son solución los x que pertenecen a un intervalo o al otro)


FINALMENTE: JUNTANDO LAS DOS CONDICIONES

La propiedad del módulo dice que se tienen que cumplir las dos condiciones, así que la solución será la intersección de los intervalos solución de las dos condiciones:

Graficamos las dos soluciones en el mismo gráfico, a ver dónde se cruzan:

[-2;+∞) U (-∞;-5/2)    y    (-∞;-4] U (-5/2;+∞)

interseccion de uniones

Las zonas donde se cruzan entre sí ambas soluciones son los intervalos:

(-∞;-4] y [-2;+∞)

Así que la solución la forman los x que pertenecen a alguno de esos dos intervalos. Como están separados (disjunto), se expresa como una unión de intervalos:

(-∞;-4] U [-2;+∞)

Así que ésa es la solución de la inecuación con módulo: 

Solución: (-∞;-4] U [-2;+∞)





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