TEMA: INECUACIONES DE PRIMER GRADO

30-04-11 Pregunta de PAOLA

hola, tendrias alguna explicacion para inecuaciones con una incognita y con dos incognitas?muchas gracias.

Cursando:: tecnicatura en seguridad e higiene
Edad:: 29
Nacionalidad:: argentina
¿Qué opinas de la web?: exelente, me es muy útil.

Hola PAOLA. En las inecuaciones con una sola incógnita puedes despejar la incógnita como en las ecuaciones (siempre que la incógnita no esté elevada a una potencia par), pero con la salvedad de que si pasas un número negativo de multiplicar a dividir o viceversa, debes invertir el signo de la desigualdad. Luego, la solución no es un solo número ni dos como en la ecuaciones, sino que son infinitos números, es un conjunto de números que se puede expresar como un intervalo del conjunto de los números Reales (siempre que hablemos de inecuaciones en números Reales). Te muestro algunos ejemplos:

2x + 5 > 7

2x > 7 - 5

2x > 2

x > 2:2

x > 1

Ves como fui despejando igual que en una ecuación: "lo que está sumando pasa restando", "lo que está multiplicando pasa dividiendo", etc.). Como el número que pasé de multiplicar a dividir era positivo (el 2), no tuve que invertir el signo de la desigualdad.

Luego, la solución es el conjunto de todos los números Reales mayores que 1. Se suele representar en la recta numérica:

<---------|-----(-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/->
-∞          0       1                               +∞

Y dar la solución en forma de intervalo:

S = (1;+∞)

Lo cual significa: El intervalo del conjunto de números Reales que empieza en el 1 (sin incluir el 1), y llega al infinito positivo. Lo forman todos los números mayores que 1. Se usa paréntesis en el extremo del intervalo si el número del extremo no está incluido en el conjunto. Como la solución era x > 1, el 1 no está incluido, por eso se usa paréntesis. Y en el extremo del infinito va paréntesis siempre. Si la solución hubiera sido x >=1, el 1 estaría incluido, y se usa un corchete en ese extremo.

Otro ejemplo:

-3x + 6 >= 0

-3x >= -6

x <= -6:(-3)

x <= 2

Ves como, al pasar el -3 de multiplicar a dividir, invertí el signo de mayor a menor.

</-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-]--------------------->
-∞                    0      1       2                             +∞

S = (-∞;2]


Luego, si la incógnita está al cuadrado, o en un denominador, o hay un módulo, se resuelven de otras maneras, bastante más complicadas. Puedes ver algunos ejemplos en los siguientes enlaces si quieres:

INECUACIONES CUADRÁTICAS

INECUACIONES RACIONALES

INECUACIONES CON MÓDULO


Inecuaciones con 2 incóngnitas:

Cuando tienen dos incógnitas diferentes, por ejemplo:

2y - 4 > 3x

La solución no es un conjunto de números, sino que es un conjunto de puntos del plano. A esas inecuaciones se las resuelve graficando en el plano y rayando la zona donde están los puntos. Te muestro cómo hacer ese ejemplo:

2y - 4 > 3x

Hay que despejar la y, para que quede como la ecuación explícita de una recta (y = mx + b). Pero con el signo > en lugar del =

2y > 3x + 4

y > (3x + 4)/2

y > 3/2 x + 4/2

y > 3/2 x + 2

Eso significa "todos los puntos del plano donde la coordenada "y" es mayor que la coordenada x multiplicada por 3/2 y sumada a 2". Esos puntos son los que están sobre la recta:

y = 3/2 x + 2

Entonces se grafica la recta, y se sombrea la región del plano que está por encima de esa recta (Por el signo de mayor. Si la inecuación fuera con el signo menor, se sombrea la región que están por debajo de la recta). La solución es el conjunto de todos los puntos que están en el semiplano por encima esa recta. Y se puede comprobar que esos puntos cumplen con la inecuación, que su coordenada "y" es mayor que su coordenada "x" multiplicada por 3/2 y sumada a 2. Te muestro el gráfico:




El punto (1,6) por ejemplo, está en la zona sombreada. Vamos a ver si cumple con la inecuación:

coordenada x : 1
coordenada y : 6

Reemplazamos en la inecuación:

y > 3/2 x + 2

6 > (3/2).1 + 2

6 > 7/2     (3,5 en decimal)

Y eso es verdadero. Ese punto cumple con la inecuación. Ahora probemos con un punto de la zona que no está sombreada:

(3,1)

coordenada x : 3
coordenada y : 1

y > 3/2 x + 2

1 > (3/2).3 + 2

1 > 13/2     (6,5 en decimal)

Eso es falso, ya que 1 es menor que 6,5. Ese punto no cumple con la inecuación.

Por último, dibujé la recta con línea punteada, porque los puntos de la recta no cumplen con la inecuación, ya que en esos puntos se cumple que:

y = 3/2 x + 2

Y la inecuación dice que:

y > 3/2 x + 2

Si la inecuación fuera:

y >= 3/2 x + 2

los puntos de la recta estarían incluidos en la solución, y la recta debería dibujarse con línea plena y no con línea punteada.

Espero que eso te dé una idea general sobre el tema.