Matematica y Listo  Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

Página Principal - Temario | Indice de Respuestas


RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: INTEGRALES

25-03-11 Pregunta de tavooooo

disculpa me podrias ayudar a resolver la siguiente integral porq tengo un poco de dudas
ʃxdx/(1+x) dx


Hola tavoooo:

x/(1 + x) dx =

Se puede hacer por Sustitución, usando un pequeño truquito para reemplazar la x de arriba. 

t = 1 + x

dt = 1.dx

dt = dx

Así que se puede reemplazar a dx por dt, a (1 + x) por t, y fijate cómo hago para poder también reemplazar a la x de arriba:

Como:

t = x + 1

Puedo decir que:

t - 1 = x

Así que la x del numerador se puede reemplazar por t - 1, y así tenemos una integral donde la única variable es t:

∫(t - 1)/t dt =

Y eso se puede integrar fácilmente, porque se puede separar en dos términos:

∫t/t - 1/t dt =

t/t - 1/t dt =

∫1 - 1/t dt =

Entonces se puede aplicar la propiedad de la integral de una suma o resta:

∫1 dt - ∫1/t dt =

Y esas dos integrales se pueden hacer "por tabla" (se conocen sus resultados):

t - Lnt + C = 

1 + x - Ln(1 + x) + C

Puedes derivar para verificar que está bien.



26-10-10 Pregunta de politaaa:

Hola marce, gracias, no todavia no es tarde, tengo el final de analisis matematico la semana que viene, asi q me vino barbaro.
tengo otra duda pero en este caso se efectua integracion por partes, el problema es que no me da.
es ln{raiz cuadrada}(x+1)dx
te aclaro que la raiz incluye a x+1


Hola politaaa. Me alegro que haya servido igual la respuesta aunque tarde. Menos mal que se te ocurrió entrar a la página, porque no tenía modo de avisarte.
Para resolver esta integral con el método de partes, la tomé como una multiplicación de dos funciones: una es toda la función Ln √(x + 1) y la otra es "1". Sí, porque Ln √(x + 1) es igual a 1.Ln √(x + 1). Y sospeché que podría resolverla así, porque es así como se puede resolver la integral de Lnx (un truquito que me enseñaron cuando aprendí integrales por primera vez). Así que puedo escribir a la función de esta manera:

Integrales

Luego, elijo a ln√(x + 1) para derivar, y a "1" para integrar:

f(x) = ln√(x + 1)

f´(x) = 

(es una derivada con regla de la cadena)

g´(x) = 1

g(x) = ∫1dx = x

Así que queda:

Integral por partes

(ya sabes cómo es la fórmula de "partes")

Luego, la integral que quedó se puede hacer por sustitución, usando otro pequeño truquito, que es despejar en "u". Así:

u = x + 1 entonces x = u - 1 (así puedo reemplazar también la x del numerador)
du = 1.dx
du = dx

Reemplazo, y me queda esta integral:

Integral por sustitucion

u - lnu = (x + 1) - ln(x + 1)

Ahora vuelvo a la integral completa y reemplazo:





Y está bien, porque ya la derivé para verificar y me dió.



21-10-10 Pregunta de politaaa:

hola marce: nuevamente molestando, hay una integral q no me sale para nada.
yo distribuyo los denominadores luedo hago sustitucion u=-2x pero no me sale.
El ejercicio dice asi; la integral de: EN EL NUMERADOR 5-e^x dx
Y EN EL DENOMINADOR e^(2x)
y el resultado es -5/2e^(-2x)+ e^(-x)+C


Hola politaaa. Disculpa que tu pregunta se me pasó por alto, no la ví, no sé qué pasó, me la salteé. No sé si no será ya tarde, pero igual te la contesto:

Integrales

No sé si esto lo intentaste: separar en dos fracciones de igual denominador:



Luego, e2x es igual a (ex)2, por lo cual se va a poder simplificar con el ex de numerador en el segundo término. Y también aprovecho para sacar el 5 afuera de la integral:



Luego, como las exponenciales están en el denominador, puedo escribirlas como potencias negativas:



Y se puede integrar por sustitución. Las hago una por vez para que se entienda mejor. La primera:

u = -2x
du = -2 dx
du/-2 = dx
-1/2 du = dx  (lo escribo de esta otra forma más conveniente, porque du/-2 es igual a -1/2 du)

Reemplazo:

Integrales por el metodo de sustitucion

La segunda:

u = -x
du = -1.dx
du:(-1) = dx
-du = dx
(-1).du = dx (lo escribo de esta forma más conveniente, porque -du es igual a (-1).du)

Reemplazo:



Ahora vuelvo a la integral completa y reemplazo con esos dos resultados:



Y dió como vos decías. Espero que todavía te sirva la respuesta. Y sino, a alguien le servirá. Saludos.




04-10-10 Pregunta de politaaa:

Hola marce: en las respuestas tenia 2 resultados, el q te dio a vos y otro al q se llega tomando como u a la raiz de (x+1) y haciendo sustitucion asi q muchisimas gracias. 
y ademas tengo 2 dudas mas: 
1) es una integral donde en el numerador esta x^2+4 (dx) 
y en el denominador x 
y no se como hacer sustitucion, si tomar el num como u o solo x^2. 
o dividir numerador por denominador. el resultado que debe dar es: (x^2/2)-ln (x^4)+C 
2) la integral de (X^3/3)+ (1/4x^2) y no se si hacer comun denominador o tomar como u a x^2 pero me da algo raro y no tengo el resultado. 
si podes ayudarme te lo agradezco. 
saludos

PERDON ME EQUIVOQUE: LA PRIMER INTEGRAL ES EL NUMERADOR (X^2-4)dx 
Y EL DENOMINADOR X


Hola de nuevo politaaa. Esas integrales se pueden hacer sin aplicar el método de Sustitución y son muy fáciles. Antes de pensar en utilizar ese método o el de partes, tendrías que pensar si puedes transformar a la expresión en otra donde se puedan usar las propiedades de la integral (propiedades) y queden integrales fáciles de resolver (como una potencia positiva o negativa, un número sobre una potencia (que se puede transformar en una potencia negativa), una raíz (que se puede transformar en potencia fraccionaria), o integrales que estén en tablas). Ahora te muestro cómo hacer ésas:

1)



Ahí separé la fracción en dos fracciones con el mismo denominador. Luego pude simplificar en la primera fracción, y a la segunda la escribí como producto con la potencia negativa (como te había dicho en el ejercicio anterior que se puede hacer eso con un denominador). Entonces quedó una resta de dos integrales que son potencias (lo más fácil de integrar), y podré usar la propiedad de la integral de una resta: "la integral de una resta es igual a la resta de las integrales".



El segundo término no es exactemente igual a la solución que vos me pusiste. Pero puede ser que hayas copiado mal, o el enunciado o la solución. De todos modos lo más importante es que supieras que podías separarla en dos fracciones, así que ya con eso te servirá para hacerla vos aunque el enunciado fuera un poco diferente.


2) 



Ésta era una suma de integrales de potencias, así que sólo tienes que integrar cada término con la regla para integrar una potencia. Cuando son sumas o restas de términos, se puede integrar cada término y quedan sumándose o restándose las integrales. Es por las propiedades de las que te hablé antes. Siempre antes de pensar en los métodos, fijate si no podés separarla como sumas o restas de integrales que puedas hacer sin ningún método.

Propiedades de las integrales:

Propiedades de las Integrales
Propiedades de la Integracion

Cualquier duda me preguntas, por ejemplo si no entiendes por qué saqué 1/3 adelante de la primera integral.




02-10-10 Pregunta de politaaa:

HOLA NECESITO TU AYUDA CON UNA EXPRESION FRACCIONARIA.
NECESITO PASARLA COMO UN PRODUCTO DE POLINOMIOS:
EN EL NUMERADOR -X
Y EN EL DENOMINADOR (X+1)-[(X+1)^1/2]

Hola politaaa. Si es para integrarla, yo la racionalicé y me quedó una suma de funciones que pude integrar con mucha facilidad por sustitución. Por otro lado, si la quieres como producto, se puede expresar así:



Es decir, multiplicar el numerador por el denominador elevado a la -1

Pero luego, integrarla por partes se hace complicado, así que no sé si esa es la forma a la que te piden llevarla.

Te muestro como racionalicé e integré:





(simplifiqué la raíz con el cuadrado, aunque no pude ponerlo tachado en el editor de ecuaciones)



(ahí saqué factor común x en el denominador, para poder simplificar con -x)



Luego, para que su integración se facilite, lo separo en dos fracciones del mismo denominador:



Ahora, integrar eso es muy fácil:



Para la segunda integral uso el método de sustitución:

t = (x + 1)
dt = (x + 1)´.dx
dt = 1.dx
dt = dx

Hago la segunda integral por separado:

Ahora junto todo para el resultado final:

-x - 2.(x + 1)1/2

Bueno, no sé si era eso exactamente lo que necesitabas, pero otra cosa no se me ocurre. Espero haberte ayudado.



Pregunta de P:

¿Cómo puedo resolver esta integral: integral[(2x+1)/(x+5)^100]?

No sé habrá otra forma más sencilla, pero a mí se me ocurrió hacerla separándola en dos integrales y luego por sustitución. En la primera hay que hacer un arreglo que no es muy común:


t = x + 5
dt = (x + 5)´.dx
dt = dx

Y ahora, para poder reemplazar 2x, hago esto:

x + 5 = t
x = t - 5
2x = 2.(t - 5)
2x = 2t - 10


Es decir que ahora puedo reemplazar también a 2x en la primera integral.

















Y está bien porque hice la comprobación derivando (No te puedo decir lo complicada que fue la comprobación... Fue mucho más fácil integrar que derivar)





Política de Privacidad - Contacto: matematicaylisto@gmail.com