TEMA: FUNCIONES IRRACIONALES - ECUACIONES IRRACIONALES

24-02-11 Pregunta de Tom

Hola de nuevo, quiero solucionar este problema: 

Sea F(x)= Raizx + Raiz(1+x) -4 
¿cual es la cantidad exacta de raices de F? 
a)4 
b)3 
c)2 
d)1 
e)0 
f) ninguna de las otras opciones 

A simple vista como no tiene terminos al cuadrado, ni al cubo (ni mas alto) puedo pensar que tiene 1 raiz, pero podria no tener ninguna tambien y eso nose como probarlo ...esta bien el razonamiento?


Hola Tom. Las raíces o ceros de una función se pueden hallar "igualando a cero" la fórmula de la función:

√x + √1 + x - 4 = 0

Porque las raíces de una función son los valores de "x" a los cuales, si le aplicamos la función, el resultado dá cero (los valores de "x" para los cuales la "y" vale cero). Luego, hay que resolver la ecuación que quedó planteada.

Ésa es una ecuación "irracional" (con "x" debajo de los radicales). No sé si recuerdas como se resuelven: Una manera de hacerlo es elevar al cuadrado ambos miembros, con la idea de que se puedan cancelar las raíces cuadradas con las potencias cuadradas. En el caso de que haya varios radicales (como en este ejemplo), lleva un poco más de trabajo, pero se puede llegar a que quede un solo radical y luego despejar. Y también hay que averiguar el Dominio de la función, a ver si la solución que se obtiene en la ecuación pertenece al Dominio. Te muestro cómo se hace:

√x + √1 + x - 4 = 0

√x - 4 = √1 + x           (conviene que quede un solo radical en cada miembro)

(√x - 4)² = (√1 + x)²

(√x)² - 8√x + 16 = 1 + x

x - 8√x + 16 = 1 + x

-8√x = 1 + x - x - 16

-8√x = -15

√x = -15/-8

√x = 15/8

(√x)2 = (15/8)2

x = 225/64

Ésa podría ser la solución de la ecuación, pero veamos si ese número pertenece al Dominio de la función. Para encontrar el Dominio de una función con raíces cuadradas, hay que plantear que lo que está debajo de las raíces sea mayor o igual que cero (porque las raíces cuadradas de números negativos no tienen solución en el conjunto de los números Reales). Las raíces que tenemos en la fórmula son:

√x    y    √x + 1

Así que se debe cumplir que:

x >= 0     y      x + 1 >= 0

x >= 0     y       x >= -1

De eso se deduce que (puedes verlo graficando en la recta numérica):

x >= 0

Dominio: [0;+∞) (Reales >=0)

Y la solución que nos había dado es x = 225/64, que pertenece a ese conjunto (225/64 > 0). Así que x = 225/64 es una solución válida para la ecuación, entonces x = 225/64 es raíz de la función. Como esa es la única solución de la ecuación, la función tiene una sola raíz:

 La respuesta correcta es la d) 1.