Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: LIMITES

01-03-11 Pregunta de jofigon:         (INDETERMINADA INFINITO/INFINITO)

Por favor, ¡cómo resuelvo este l{imite?: lím x->inf (1- 3x/2x+1)x 
es decir, tiende a infinito y está elevado a la "x". Saludos y gracias. jofigon

Hola jofigon.

          1 - 3x
LIM     ------- . x =
x->∞   2x + 1

Primero multiplica la x por el polinomio de arriba, así queda sólo una fracción:

1 - 3x         x - 3x²
------ . x = --------
2x + 1        2x + 1

Entonces queda:

         x - 3x²
LIM    ------- =
x->∞  2x + 1

Eso dá una indeterminación ∞/∞. Ya que, cuando x tiende a infinito, cualquier polinomio tiende a infinito. Como es una fracción entre dos polinomios, y ambos tienden a infinito, la fracción tiene a ∞/∞.

Para resolver esa indeterminación se puede usar el conocido método de dividir cada término por la x a la mayor potencia (hay otros), que en este caso es 2:

          x/x² - 3x²/x²
LIM     -------------- =
x->∞   2x/x² + 1/x²

Luego simplificas las x en cada fracción:

          x/x² - 3x²/x²
LIM    -------------- =
x->∞   2x/x² + 1/x²

Y lo pasamos en limpio para ver bien cómo queda cada fracción:

         1/x - 3
LIM    ---------- =
x->∞  2/x + 1/x²

y Con eso desaparece la indeterminación. Pues:

1/x tiende a 0
-3 tiende a -3
2/x tiende a 0
1/x² tiende a 0

Así que el limite es:

0 - 3
------ =
0 + 0

-3/0 = ∞


No sé si lo sabías, pero:

Cuando x tiende a infinito, k/x tiene a 0 (para "k" un número real). Y lo mismo si la x está al cuadrado, o a cualquier potencia. Así que, cuando luego del procedimiento, te quedan fracciones con números arriba y "x" abajo (a cualquier potencia), esos términos tienden a cero. Algunos lo piensan así: "Reemplazo las x por "∞", y me queda:

1/∞ - 3
-------------- =
2/∞ + 1/∞²

Y como: k/∞ = 0 para todo k, entonces todos los términos ésos con infinito abajo son igual a cero.

Lo que pasa que reemplazar la x por infinito no es del todo correcto, pero si se permite les ayuda a algunos alumnos a guiarse mejor.

¿Y por qué "un número sobre infinito" tiende a cero?

Porque si se divide a un número cualquiera por otro número cada vez más grande (en valor absoluto), el resultado es cada vez más chico (en valor absoluto), acercándose a cero. Por ejemplo:

2/10 = 0,2

2/100 = 0,002

2/1000 = 0,0002

2/10000 = 0,00002

2/23459789 = 0,00000008526316198...

El denominador es "cada vez más grande" (tiende a infinito). Y el resultado de la división es "cada vez más chico" (tiende a cero)


RESUMEN DE LOS PASOS:

         1 - 3x
LIM    ------- . x
x->∞  2x + 1


         1 - 3x 
LIM    ------- . x =
x->∞  2x + 1

           x - 3x²
LIM      -------- =
x-> ∞   2x + 1 



          x/x² - 3x²/x²
LIM     -------------- =
x->∞    2x/x² + 1/x²


          x/x² - 3x²/x²
LIM     --------------- =
x->∞   2x/x² + 1/x²


         1/x - 3
LIM    ----------- =
x->∞   2/x + 1/x²


0 - 3
------ =
0 + 0

-3/0 = ∞