RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: FUNCIÓN LINEAL - ECUACIÓN DE LA RECTA                      

24-11-10 Pregunta de Manuel

Hola Marce una vez mas necesito de su ayuda por ultima vez ya esta es la ultima guia que tendre que resolver espero me pueda ayudar para yo poder realizar los demas....

Los ejercicios son....

1. Hallar el valor de la pendiente e intercepciones de la recta 7x-9y+2
11. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0),B(2,4),C(6,7),D(8,0). Hallar las ecuaciones de sus lados.


Hola Manuel. Vamos por el primero:

1) Hallar el valor de la pendiente e intersecciones de la recta 7x - 9y + 2 = 0 (En el enunciado te faltó poner que todo era igual a cero. Pero seguro que es así, sino está incompleta la ecuación)

Cómo hallar la pendiente:

Para ver el valor de la pendiente de la recta, la tienes que pasar a la forma explícita. Porque la recta que te dan está en la forma "general":

y = mx + b             Ecuación explícita de la recta

ax + by + c = 0       Ecuación general de la recta

Ves que la ecuación general tiene todos los términos del mismo lado, y del otro hay un cero. En cambio en la ecuación explícita tienes la "y" sola de un lado, y todo lo demás del otro lado. En la ecuación explícita se puede ver fácilmente la pendiente, ya que es el número que está multiplicando a la x. Ahí te remarqué en color rojo: la pendiente es "m".

Por lo tanto, lo que tenemos que hacer para pasar a la forma explícita es "despejar la y":

Despejar la y:

7x - 9y + 2 = 0

-9y = 0 - 7x - 2

-9y = -7x - 2

y = (-7x - 2):(-9)

y = (-7x - 2).(-1/9) 

(esto lo puedes hacer de distinta forma. Yo usé que dividir por -9 es igual a multiplicar por -1/9, la fracción inversa a -9/1 ). Ahora aplico la propiedad distributiva, y me queda:

y = 7/9 x + 2/9          Ecuación explícita

Como te dije antes, en la ecuación explícita se puede ver la pendiente de la recta, ya que es el número que está multiplicando a la x. Vemos que ese número es 7/9. Así que:

Pendiente: m = 7/9

(a la pendiente se la suele llamar con la letra "m", o a veces con la "a")

Ya está la respuesta a cuál es la pendiente. Lo que sigue sobre este tema es optativo, por si quieres más información:

También hay otra forma de encontrar la pendiente, sin pasarla a la forma explícita. Pero hay que usar una fórmula (y por lo tanto exige recordarla) que te dá la pendiente partiendo de la ecuación general. Si la ecuación general es:

ax + by + c = 0

La fórmula para la pendiente es:

m = -a/b

(Observar que "a" es el número que multiplica a la "x", y "b" es el número que multiplica a la "y")

Probemos si dá igual que con el otro procedimiento:

7x - 9y + 2 = 0

a = 7
b = -9

m = -a/b = -7/-9 = 7/9

Ves que dá igual.

Nota: La fórmula proviene justamente de despejar la "y" en la ecuación general. Es decir, de pasar de la ecuación general a la explícita:

ax + by + c = 0         Ecuación general

by = -ax - c

y = (-ax - c)/b

y = -a/b x - c/b        Ecuación explícita

Como la pendiente era el número que multiplica a la "x", ves como ese número aquí es -a/b. Es tu elección memorizar la fórmula y aplicarla, o hacer el procedimiento de despejar la "y" en la ecuación que te dan en cada problema.


Intersección con los ejes:

Se refiere a los puntos donde la recta va a cortar al eje de las "x" (abscisas) y al eje de las "y" (ordenadas). Y vamos a usar la ecuación explícita que hallamos en el punto anterior (es más cómodo así).

a) Intersección con el eje "y":

Para entender el concepto hay que tener buena noción sobre graficar puntos en los ejes de coordanadas. Si eso no está muy claro, simplemente puedes recordar el procedimiento y te servirá para encontrar cualquier intersección con el eje "y". De todos modos, te hablo del concepto:

Para que un punto caiga sobre el eje "y", su coordenada "x" debe ser "0" (cero). Por ejemplo, grafica los puntos (0,8); (0,-1); (0,3), etc. y verás que todos caen sobre el eje "y". Entonces, para encontrar ese punto de una función que "cae" sobre el eje "y", lo que hay que hacer es ponerle a la "x" el valor "0". Viste que en una función, le ponemos valores a la "x", y obtenemos valores de "y" usando la fórmula de la función. Así que voy a hacer eso. La función era:

y = 7/9 x + 2/9

Si le pongo a la "x" el valor "0", tengo que:

y = (7/9). 0 + 2/9

y = 0 + 2/9

y = 2/9

Para x = 0, la "y" vale 2/9. Es decir que la función pasa por el punto (0;2/9). Y ese punto cae sobre el eje "y", como te dije antes. Así que:

Punto de intersección con el eje "y":

(0, 2/9)


b) Intersección con el eje "x":

El concepto es similar, pero "al revés": Para que un punto caiga sobre el eje "x", su coordenada "y" debe valer "0" (cero). Por ejemplo, grafica los puntos (3,0) ; (-5,0), etc, y verás que caen sobre el eje x. Entonces, para encontrar el punto de intersección de una función con el eje x, hay que ponerle a la "y" el valor "0". La función era:

y = 7/9 x + 2/9

Si le pongo a la "y" el valor "0", tengo que:

0 = 7/9 x + 2/9

Y ahora, para encontrar cuánto vale "x", la despejo en esa ecuación:

0 - 2/9 = 7/9 x

-2/9 = 7/9 x

(-2/9):(7/9) = x

-2/7 = x

Para y = 0, la "x" vale -2/7. Es decir que la función pasa por el punto (-2/7 , 0). Y ese punto cae sobre el eje "x". Así que:


Punto de intersección con el eje "x":

(-2/7 , 0)


Resumen:

Para intersección con eje "y", poner el cero en la "x".
Para intersección con eje "x", poner el cero en la "y".
Para encontrar la pendiente: despejar la y para pasar a la ecuación explícita. La pendiente es el número que queda multiplicando a la "x".

Bueno, espero que eso te sirva para resolver los demás ejercicios sobre este tema. Saludos.

El segundo ejercicio:

11. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0),B(2,4),C(6,7),D(8,0). Hallar las ecuaciones de sus lados.


Los lados son segmentos que forman parte de rectas. Lo que te piden es encontrar las ecuaciones de las rectas en la que están incluidos los lados de ese cuadrilátero. Cada una de esas rectas pasan por dos puntos: dos vértices consecutivos del cuadrilátero. Por ejemplo, la recta que contiene al lado AB, pasa por el punto A y el punto B (haz un dibujo para verlo). La recta que contiene al lado BC, pasa por los puntos B y C. Y así. Como lo correcto es ponerle a los vértices las letras del abecedario en orden (esto es sólo una aclaración), suponemos que el cuadrilátero es ABCD (que el problema no lo dice), y por lo tanto los lados son:

AB
BC
CD
DA

Así que hay que buscar las 4 rectas que pasan por cada par de esos puntos. Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por 2 puntos existen varios procedimientos (se me ocurren al menos 3). No sé si tienes que seguir alguno en particular (cualquier cosa luego me lo dices y te lo hago de esa forma). Yo voy a usar el que me resulta más corto de explicarte: usar una fórmula. Con una sola fórmula se puede encontrar la ecuación de la recta:

Dados dos puntos (x₁,y₁) y (x₂,y₂), la ecuación de la recta se puede hallar directamente con esta fórmula:

(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)

Donde x₁ e y₁ son las coordenadas de uno de los puntos, y x₂ e y₂ las coordenadas del otro punto. Mientras que la "y" y la "x" de la fórmula van a quedar sin reemplazar (recordemos que la ecuación de la recta tiene una "x" y una "y", y que su forma explícita, a la que vamos a llegar con este procedimiento, era y = mx + b)


La recta que pasa por A y B:

A = (0,0) entonces x₁ = 0 y₁ = 0
B = (2,4) entonces x₂ = 2 y₂ = 4

(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)

(y - 0)/(4 - 0) = (x - 0)/(2 - 0)

y/4 = x/2

y = (x/2).4

y = 2x

(El 4 se puede simplificar con el 2)


La recta que pasa por B y C:

B = (2,4) entonces x₁ = 2 y₁ = 4
C = (6,7) entonces x₂ = 6 y₂ = 7

(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)

(y - 4)/(7 - 4) = (x - 2)/(6 - 2)

(y - 4)/3 = (x - 2)/4

Acá conviene usar la Propiedad fundamental de las proporciones: "El producto de los medios es igual al producto de los extremos" ó para entendernos: "Multiplicamos cruzado":

(y - 4).4 = 3.(x - 2)

4y - 16 = 3x - 6

4y = 3x - 6 + 16

4y = 3x + 10

y = (3x + 10):4

y = (3x + 10).(1/4)

y = 3/4 x + 5/2


La recta que pasa por C y D:

C = (6,7) entonces x₁ = 6 y₁ = 7
D = (8,9) entonces x₂ = 8 y₂ = 9

(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)

(y - 7)/(9 - 7) = (x - 6)/(8 - 6)

(y - 7)/2 = (x - 6)/2

(y - 7).2 = 2.(x - 6)

2y - 14 = 2x - 12

2y = 2x - 12 + 14

2y = 2x + 2

y = (2x + 2):2

y = x + 1


La recta que pasa por D y A:

D = (8,9) entonces x₁ = 8 y₁ = 9
A = (0,0) entonces x₂ = 0 y₂ = 0

(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)

(y - 9)/(0 - 9) = (x - 8)/(0 - 8)

(y - 9)/(-9) = (x - 8)/(-8)

(y - 9).(-8) = (-9).(x - 8)

-8y + 72 = -9x + 72

-8y = -9x + 72 - 72

-8y = -9x

y = -9x/(-8)

y = 9/8 x


Listo. Espero no haberme equivocado en ninguna cuenta, pues lo hice directo en la compu y quería que lo tengas lo más rápido posible. Hasta luego y te aviso cuando estén los otros dos ejercicios que faltan.