TEMA: FACTOREO DE POLINOMIOS

13-01-11 Pregunta de Carla                  (GAUSS - NORMALIZACIÓN)

Marce tengo estos ejercicios de factorizar polinomios, yo los hice pero me da otro resultado distintos en todos los casos: 

a) 3x^7+5x^5-8x^3... Yo saqué factor común y luego apliqué Ruffini, me da como resultado: x×3 (x-1)(3x^2+3x+8) y en el libro me lo da como: 3x^3 (x+1)(x-1) (x^2+8/3) 


b) 3x^2-3x-6...Apliqué también Ruffini y me dió: (x+1) (x-2) (3x+3) y en el libro aparece: 3(x+1)(x-2), no entiendo porque ese 3 al princio y que pasó con el (3x+3). 

c)1/8-x^3...Yo lo completé y apliqué como en los otros ejercicios Ruffini, mi resultado es: (x-1/2) (-x^2-1/2x-1/4) 
y el del libro es: -(x-1/2) (x^2+1/2x+1/4), lo que no comprendo es porque aparece ese signo negativo al principio Y porqué los del segundo término aparecen como positivos... 

Otra pregunta: ¿cómo diferencio en qué casos debe utilizar Ruffini y en qué casos factor común por grupos?... 

Gracias... 

Hola Carla.

x³.(x - 1)(3x² + 3x + 8) y

3x³.(x + 1)(x - 1).(x² + 8/3)

La respuesta que te dá el libro podría ser una expresión equivalente a la que encontraste vos. Porque en general un libro te va a dar el resultado con todos los factores "normalizados" (eso quiere decir "sin coeficiente en el término de mayor grado), y vos no "normalizaste" el último factor (3x² + 3x + 8, no le sacaste el 3 a la x²). (Más adelante te explico que es esto de "normalizar")

Pero en este ejercicio en particular, hay algo que está mal (o copiaste mal algún exponente de tu resultado), porque tu resultado no puede venir de factorizar un polinomio de grado 7, sino de uno de grado 6 (y hay una forma inmediata de darse cuenta de eso, pero no te la explico acá para no irme del tema, en todo caso si te interesa me lo consultás después). Ante la duda, voy a empezar a factorizar yo el polinomio, a ver qué te pasó:

3x⁷ + 5x⁵ - 8x³ =

x³.(3x⁴ + 5x² - 8) =                             (saqué factor común)

x³.(x - 1).(3x³ + 3x² + 8x + 8) =            (apliqué "Ruffini" (gauss) dividiendo por (x - 1)

Y acá está la diferencia: Te equivocaste en la división por Ruffini. A vos te dió: 3x² + 3x + 8, y dá: 3x³ + 3x² + 8x + 8. ¿No será que no completaste bien el polinomio? Bueno, arreglá eso y lo seguílo. Después me contás si no llegás al resultado del libro (vas a tener que "normalizar" después) (sigue leyendo por ahora, porque ya ví en los otros puntos que no sabes sobre eso).


b) (x+1).(x-2).(3x+3)     y     3(x+1).(x-2)

Bueno, acá hay dos cosas: es seguro que la solución del libro era así:

3.(x + 1)².(x - 2)

O te olvidaste de copiar el cuadrado, o es un error del libro (a veces pasa).

Luego: Tu resultado está bien, es equivalente al del libro (con mi corrección), pero tiene "otra forma":

No desapareció (3x + 3). Lo que pasa es que lo "normalizaron", sacando factor común 3:

3x + 3 = 3.(x + 1)

El (3x + 3) fue reemplazado por 3.(x + 1), por eso a vos te parece que "desapareció".

Si le hago eso a tu resultado, mira cómo queda:

(x + 1)(x - 2)(3x + 3) =

(x + 1).(x - 2).3.(x + 1)

Ahora fijate que quedó un 3 ahí entremedio de los otros factores. Como así queda "feo", al número se lo pone adelante de todos los otros factores, total la multiplicación es conmutativa y entonces puede cambiarse el orden de los factores:

3.(x + 1).(x - 2).(x + 1)

Luego, fijate que el factor (x + 1) está repetido. Lo podría acomodar primero así:

3.(x + 1).(x + 1).(x - 2)

Y como (x + 1).(x + 1) es lo mismo que (x + 1)², queda mejor si lo pongo así:

3.(x + 1)².(x - 2)

Y ahí tienes el resultado del libro. Los libros o los profesores van a hacer los pasos para llevarlo a esa forma, así que no te sorprenda encontrar esas diferencias. No sé si tenés que aprender a hacerlo vos también, eso depende de lo que te pedía el ejercicio, el tema, o lo que quisieras hacer con ese polinomio.


Te explico un poco y después te dejo un enlace a la página donde explica cómo se normaliza un polinomio. Normalizar es "quitarle el coeficiente principal al polinomio", es decir, el número que está multiplicando al término de mayor grado. Para hacer eso hay que dividir a cada término por ese coeficiente, como cuando se saca factor común, aunque la división no sea exacta. Así se logra que el término de mayor grado "no tenga coeficiente", o más bien, que su coeficiente sea "1".

Por ejemplo, si quiero normalizar:

2x⁴ + 5x³ - 7x + 6 =

Tengo que dividir todo por 2, y me queda:

2.(x⁴ + 5/2 x² - 7/2 x + 3)

Las divisiones que no dan exactas quedan como fracciones (5:2 = 5/2, 7:2 = 7/2)

Aquí puedes ver más ejemplos y explicación:

CÓMO SE NORMALIZA UN POLINOMIO

EJEMPLO DONDE PARECE QUE NO DÁ IGUALL


c) (x - 1/2)(-x² - 1/2x - 1/4)   y   -(x - 1/2) (x² + 1/2x + 1/4)

Y acá lo mismo, pero es el caso particular en que el coeficiente principal es -1 (o dicho de otra manera: el término de mayor grado es negativo). Lo que se hace es "sacar el menos afuera", o pensado de otra manera: "sacar factor común -1, o "se divide todo por -1":

(-x² - 1/2 x - 1/4)  es igual a  -(x² + 1/2 x + 1/4)

Para hacer desaparecer el signo "-" de adelante de x², se "saca afuera" y se cambian los signos de todos los términos. O si lo piensas como sacar factor común -1:

-1.(x² + 1/2x x + 1/4)

Ya que al dividir todos los términos por -1, dan los mismos valores pero con el signo contrario.

Tal como el 3 en el punto anterior, el signo "-" quedaría muy mal ahí entrometido entre los factores (peor aún, porque parecería una resta), entonces se pone adelante de todo. Si lo hacemos con "-1" se puede ver mejor lo que pasó:

(x - 1/2).(-x² - 1/2x - 1/4) =

(x - 1/2).(-1).(x² + 1/2x + 1/4) =

(-1).(x - 1/2).(x² + 1/2x + 1/4) =

-(x - 1/2).(x² + 1/2x + 1/4)

También en la página expliqué esto varias veces, sobre todo en el segundo caso de factoreo. 


En cuanto a la última pregunta: ¿cómo diferenciar cuándo se debe utilizar Ruffini y cuándo factor común por grupos?:

Hay polinomios en que se puede aplicar indistintamente uno u otro caso. Entonces elijes el que quieras: no es que tengas que aplicar uno u otro. De las dos formas vas a llegar a lo mismo; pero para que los resultados tengan exactamente la misma forma, quizás tengas que "normalizar", como pasó con los ejercicios anteriores.

Por las dudas te recuerdo que para aplicar "Ruffini" (gauss), tiene que haber un término independiente (término sin letra, número solo), o poder sacar factor común para que al final lo haya. Y el término independiente tiene que ser un número entero (no fracción), porque sino deberías hacer algo (que se puede) para que ese término quede como número entero. Así que, si no puedes llegar a que el polinomio tenga término independiente entero, tendrás que aplicar el segundo caso (siempre que se pueda, por supuesto).

04-01-11 Pregunta de Carlos               (FACTOR COMÚN)

buenas tardes me porian apoyar en explicar estos probemas Factorizar

1). 25x3- 15x2+ 5x =

2).a 6 -16a4+ 8a3=

saludos y muchas gracias


Hola Carlos. 

1) 25x³ - 15x² + 5x = 5x.(5x² - 3x + 1)

Allí saqué factor común 5x. Porque 25, 15 y 5 se pueden dividir por 5; y la letra x está en todos los términos. Apliqué el Primer caso de factoreo: Factor común, que en la página está explicado en detalle con ejemplos para cada situación. Te recomiendo:

EJEMPLO 1 (Hay factor común entre los números)
EJEMPLO 2 (Hay factor común entre las letras)
EJEMPLO 3 (Hay factor común entre los números y las letras)

Aquí te digo que para "sacar factor común" hay dividir a cada término del polinomio. Y como la división debe ser exacta, el número que saque debe ser divisor de todos los números (y el mayor divisor posible), y la letra tiene que estar con el menor exponente de los que aparecen en el polinomio.

25x³ : 5x = 5x²
-15x² : 5x = 3x
5x : 5x = 1

Puedes verificar que la igualdad es correcta aplicando la Propiedad distributiva al resultado, y entonces obtendrás el polinomio como estaba antes de factorizarlo.

Pero en este ejercicio quizás también se podría aplicar otro caso, ya que quedó un polinomio de segundo grado. Pero hice la prueba y no se puede, así que es solamente para aplicar el Primer caso (más adelante te darán ejercicios combinados, donde luego de aplicar un caso se pueden aplicar otros).


2) a⁶ - 16a⁴ + 8a³ = a³.(a³ - 16a + 8)

Éste también era para sacar factor común. La letra "a" está en todos los términos, y entonces la saqué con el menor exponente con el que aparece en el polinomio (a³).

a6 : a³ = a³           (se restan los exponentes para dividir dos letras iguales)
-16a⁴ : a³ = -16a
8a³ : a³ = 8

10-12-10 Pregunta de Laura Carolina      (DIFERENCIA DE CUADRADOS)

Hola! ¿Cómo se resuelve?: 

(- a2 - 64)

¿Se considera una suma par por tener los dos términos el mismo signo???
GRACIAS!


Hola Laura. El polinomio (- a² - 64) no se puede factorizar con raíces reales. Fijate que si "sacas el menos afuera" (o sacas factor común -1), queda así:

- (a² + 64)

Y eso es una suma de dos potencias pares. Para usar Diferencia de cuadrados, Sexto caso ("Ruffini"), o Gauss, tendría que quedar una resta de potencias pares. La suma de potencias pares no se puede factorizar (sólo algunos casos particulares, donde el exponente es múltiplo de un número impar, como 6, 10, 14, etc.). Si quieres ver más explicación puedes consultar en el siguiente enlace:

Sexto caso - Ejemplo 4

06-12-10 Pregunta de yohana         (FACTOR COMÚN)

hola quisiera saber si me pueden ayudar con este ejercicio de polinomios factor comun: 
7xy+14x+21y+7 por favor. muchas gracias


Hola yohana. Hay factor común entre los números, pues todos pueden dividirse por 7. Entre las letras no hay factor común, porque ninguna de las letras está en todos los términos. Así que hay que sacar factor común 7:

7xy + 14x + 21y + 7 = 7.(xy + 2x + 3 + 1)

Porque:

7xy : 7 = 1xy = xy

14x : 7 = 2x

21y : 7 = 3y

7 : 7 = 1

También puedes consultar en la página, ya que hay muchos ejemplos resueltos y 
explicados de factor común:

FACTOR COMÚN - EJERCICIOS RESUELTOS Y CONCEPTOS

26-11-10 Pregunta de eli            (CUATRINOMIO CUBO PERFECTO)

Hola pidoo ayudaa ! cuatrinomio cubo perfecto! se la formula, pero mi profe quiere que halle sin que tenga un extremo, y esa formula no la recuerdo. ej: x3(al cubo) + 6x2(al cuadrado) + 12 +___ =


Hola eli. No sé si entiendo bien ¿te pide que completes el trinomio y/o lo factorices? Bueno, voy a hacer las dos cosas:

A ese cuatrinomio perfecto le falta un término. Pero con esos datos podemos encontrarlo (Te aclaro que tiene que ser 12x, no 12 solo. Habrás copiado mal). Recordemos la fórmula de dónde viene un cuatrinomio cubo perfecto:

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

Y comparemos con el cuatrinomio que nos dan:

x³ +  6x² +  12x + ___ =

Podemos ver que la "a" sería "x", ya que el primer término es x³, que se correspondería con el a³ de la fórmula. Y luego tendríamos que deducir la "b" en base a los otros términos que nos dá.

Según la fórmula, 6x² se correspondería con 3a²b (porque tiene la x², que correpondería a la a²); y 12x se correspondería con 3ab²:

x³    +    6x²    +    12x    +    ___ =
x                                          ?

           3.x².b       3.x.b²          b³


6x² = 3x²b

12x = 3xb²

Y ya con la primera de esas dos ecuaciones, podemos encontrar b, despejándolo:

6x² = 3x²b

(6x²)/(3x²) = b

6/3 = b

2 = b

Y podemos verificar que b = 2, usando la otra ecuación:

12x = 3xb²
(12x)/(3x) = b²
4 = b²
 √4 = b
2 = b

Entonces, el término "b" que no conocíamos es b = 2. Como hay que completar el cuatrinomio con el último término, y éste es b³ según la fórmula, entonces:

b³ = 2³ = 8

Es decir que hay que completar el cuatrinomio con un 8:

x³ + 6x² + 12x +  8  =


Y como ya conocemos que a = x y b = 2, podemos dar directamente el resultado de la factorización (si es que pedía esto). Será:

(x + 2)³                Porque en general es: (a + b)³


Por último, para verificar que está bien, podemos desarrollar el binomio al cubo, a ver si efectivamente nos dá como el cuatrinomio que nos dieron:

(x + 2)³ = x² + 3.x².2 + 3.x.2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8

23-11-10 Pregunta de angela       (TRINOMIO CUADRADO PERFECTO)

necesito ayuda en un problema : el problema es : 9 u elevado a la dos x elevada a la cuarta menos 24u x elevada a la dos y a la tres z mas 16 y sexta z a la dos... cual seria factor comun? 

Hola angela:

9u²x⁴ - 24ux²y³z + 16y⁶z² = 

Entre los números no hay factor común, pues 9, 24 y 16 no tienen ningún divisor en común. Y entre las letras hay que tomar las que estén en todos los términos: pero no hay ninguna que se repita en todos los términos. Así que no se puede sacar factor común en ese polinomio. Me parece que es para aplicar el tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto. A ver:

9u²x⁴ - 24ux²y³z + 16y⁶z² =

3ux²                     -4y³z

     2.(3ux²).(-4y³z)
         -24ux²y3z

Sí, perfecto. Es el tercer caso. Las bases son 3ux2 y -4y3z2 (tomo la segunda base como negativa, porque el término del medio en negativo, sino no daría).  Así que el resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cuadrado" (en este caso, al sumar un término negativo, queda una resta):

(3ux² - 4y³z)²

Para más detalle sobre este caso puedes consultar en la página:

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO - EJERCICIOS RESUELTOS

O cualquier duda que tengas me preguntas. Saludos!!!!!

22-11-10 Pregunta de pistero        (CUATRINOMIO CUBO PERFECTO)

De donde proviene el cuatrinomio cubo perfecto?

Hola pistero. El cuatrinomio cubo perfecto es el resultado de elevar al cubo a un binomio. Por ejemplo:

(x + 2)³ = x³ + 12x + 6x² + 8

Allí, (x + 2) es un binomio (polinomio de dos términos), y está elevado al "cubo" (potencia tercera). El resultado es un polinomio de cuatro términos (cuatrinomio), que como proviene de una potencia tercera, es un "cubo perfecto".