Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: ECUACIONES POLINOMICAS

27-02-11 Pregunta de Andrea

disculpa que te moleste tanto, tengo estos que tampoco me salen. 
(son dos distintos) Determinar las soluciones reles de la ecuacion 

x^4-x^3-2x^2=0 

Rta: x=0; x=2; x=-1 

(x-3)^5-9(x-3)^3=0 

Rta.: x=3; x=0; x=6

Hola Andrea.

x4 - x3 - 2x2 = 0

En esa ecuación no se puede despejar la x, pues está en varios términos y con distinto grado. Tampoco es una ecuación de segundo, como para usar una fórmula en particular que la resuelva (fórmula resolvente). 

Las ecuaciones como ésta se resuelven factorizando el polinomio, ya que el resultado de la factorización es una multiplicación. Y luego, como una multiplicación dá cero cuando alguno de los factores dá cero, se usa eso. Porque los factores que quedan tienen grado menor y una sola x, entonces son "pequeñas" ecuaciones que sí podemos resolver. Fijate:

x4 - x3 - 2x = 0

x2.(x2 - x - 2) = 0            (Saqué Factor común)

Y los factores que quedaron son ecuaciones de grado 2 que sí podemos resolver:

x2 = 0           ó         x2 - x - 2 = 0

x2 = 0
|x| = V0
x = 0

x2 - x - 2 = 0

Usando la fórmula resolvente llego a que:

x1 = 2
x2 = -1

Así que esa ecuación tiene 3 soluciones: x = 0 ó x = 2 ó x = -1

S ={0, 2, -1}


(x - 3)5 - 9(x - 3)3 = 0

Éste es medio raro y quizás no se te ocurra que hacer. Hay que aplicar factoreo, y quizás varios casos:

Primero se puede sacar factor común (x - 3)3:

(x - 3)[(x - 3)2 - 9] = 0              
(El factor común es una expresión de dos términos)

Luego, dentro del corchete me queda una Diferencia de cuadrados. Una de las bases es la expresión de dos términos: (x - 3). O quizás prefieras resolver lo que quedó dentro del corchete, y vas a llegar a lo mismo. Yo prefiero aplicar Diferencia de cuadrados.

(x - 3)[(x - 3)2 - 9] = 0
           
x - 3        3

(x - 3).(x - 3 + 3).(x - 3 - 3) = 0

(x - 3).x.(x - 6) = 0

x.(x - 3).(x - 6) = 0

Entonces:

x = 0       ó        x - 3 = 0        ó        x - 6 = 0

x = 0

x - 3 = 0
x = 3

x - 6 = 0
x = 6

La ecuación tiene 3 soluciones: x = 0, x = 3 y x = 6.

S = {0, 3 , 6}





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