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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: POLINOMIOS - GRADO Y COEFICIENTES

29-03-11 Pregunta de rossanarios

¿como realizo este ejercicio? 
mx^^3+(n^2-1)x^2-px+2 
dado este polinomio,establecer condiciones sobre los numeros m,n y p para que el polinomio sea de grado:tres ,dos,uno 
quiero que por favor me lo expliquen,que me muestren como hacerlo

Hola rossanarios.

mx3 + (n2 - 1)x2 - px + 2

El grado del polinomio (cuando tiene una sola indeterminada, en este caso la "x"), es la potencia más alta a la que está elevada la indeterminada. Por ejemplo:

2x2 + x3 + 2x5 - 1 = 

es un polinomio de grado 5. Porque la potencia más alta que ves allí es 5.

Entonces, para que el polinomio que te dieron sea de cierto grado, tenemos que lograr que la potencia más alta sea de cierto grado:

- Que sea de grado 3:

Si queremos que mx3 + (n2 - 1)x2 - px + 2 sea de grado 3, tenemos que lograr que su potencia más alta sea 3. Para eso, se debe cumplir la siguiente condición:

m ≠ 0

"m" debe ser distinto de cero. Para visualizarlo, supongamos que m = 5, el polinomio sería:

5x3 + (n2 - 1)x2 - px + 2

Ese polinomio es de grado 3. Si miramos las "x" vemos que la de mayor potencia es x3. Porque la de los otros término son de grado 2 (x2) y de grado 1 (x). Pero si m fuera igual a cero, el polinomio sería:

0x3 + (n2 - 1)x2 - px + 2

0 + (n2 - 1)x2 - px + 2

Y como 0x3 es igual a 0 (0x3 significa 0.x3, y multiplicar por cero dá cero), el término con x3 desaparecería, y tendríamos que el polinomio es igual a:

(n2 - 1)x2 - px + 2

que es de grado 2.

Por eso, para que el polinomio sea de grado 3, el coeficiente de x3 debe ser distinto de cero. Y el coeficiente de x3, en ese polinomio, es "m", así que la condición que se debe cumplir es:

m ≠ 0

Y no es necesario que los números "n" y "p" cumplen ninguna condición. Porque si los coeficientes de x2 o de x fueran iguales a cero, el polinomio sería igual de grado 3, porque:

mx3 + 0x2 + 0x + 2

es un polinomio de grado 3, mientras que "m" sea desigual a cero. Por ejemplo, si m = 5, el polinomio quedaría así:

5x3 + 2

Está incompleto, pero la potencia más alta es 3, así que es de grado 3.


- Que sea de grado 2:

Como tenemos un término con la x3, si su coeficiente no vale cero, el polinomio va a ser de grado 3, porque es más grande que 2. Para que el polinomio sea de grado 2, tenemos que hacer que "desaparezca" el término de grado 3, así que se debe cumplir que:

m = 0

Pero además, el coeficiente de x2 no debe ser igual a cero (como vimos en el punto anterior), porque sino "desaparecería". Y el coeficiente de x2 es n2 - 1. Así que se tiene cumplir también:

n2 - 1 ≠ 0

Y de ahí podemos averiguar para qué valores de "n" eso dá cero:

n2 - 1 = 0

n2 = 0 + 1

n2 = 1

|n| = V1

|n| = 1

n = 1     ó     n = -1

Entonces, para que el coeficiente de x2 sea distinto de cero, el número "n" no debe ser ni "1", ni "-1". 

Así que las condiciones que se deben cumplir para que el polinomio sea de grado 2 son:

m = 0

n ≠ 1

n ≠ -1


- Que sea de grado 1:

El término de grado 1 es "-px" (porque "x" es lo mismo que "x1"). Por lo que venimos diciendo antes, para que la potencia más alta del polinomio sea "1", debemos hacer desaparecer a los términos de grado 2 y 3, para eso se tiene que cumplir que:

m = 0 (coeficiente de x3)

n2 - 1 = 0 (coeficiente de x2)
n2 = 1
|n| = V1
n = 1
n = -1

Y además, el coeficiente de x (x1), debe ser distinto de cero:

-p ≠ 0

p ≠ 0

Así que se deben cumplir las siguientes condiciones:

m = 0

n = 1    ó    n = -1

p ≠ 0





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