TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

08-04-11 Pregunta de oscar   (CALCULAR LOS ÁNGULOS AGUDOS)

dado un triangulo ABC los dos catetos miden 6 y 10 respectivamente , halla las funciones sen, tg, sec, de uno de los angulos angudos (recto en B )

Hola oscar. Conociendo la medida de dos de los lados de un triángulo rectángulo, se puede hallar la medida de los ángulos agudos. Luego, si se sabe la medida de los ángulos, se pueden calcular sus funciones trigonométricas (seno, coseno, etc.). El enunciado dice que el ángulo es recto en B, así que voy a hacer un dibujo poniendo los datos y las letras en los vértices como corresponde. La letra B va en el vértice del ángulo recto:



Entonces los catetos son: AB y BC. Como dice hallar las funciones de "uno de los ángulos agudos", calculo sólo uno de ellos, puede ser cualquiera: por ejemplo el ángulo C. 

Cuando sólo se conocen las medidas de los lados (y no se conoce uno de los ángulos agudos), para hallar la amplitud de alguno de los ángulos agudos hay que usar las funciones trigonométricas. Para el ángulo C, el lado AB que mide 10 es el "cateto opuesto" (el cateto que está enfrente del ángulo C; y el lado BC que mide 6 es el "cateto adyacente". Entonces voy a usar la función trigonométrica que tiene esos dos lados: es la tangente, ya que:

tangente (de un ángulo) = cateto opuesto/cateto adyacente 

Entonces, para este triángulo:

tangente C = AB/BC

tangente C = 10/6

tangente C = 1,667                (aprox.)

C = arcotangente (1,667)

(Nota: arcotangente es la función inversa a tangente. Aplicando arcotangente a uno número, se obtiene el ángulo cuya tangente es igual a ese número. En la calculadora se le llama tan-1)

C = 59° 02' 29''                     (aprox.)

Así encontramos un ángulo agudo, ahora podemos hallar las funciones para ese ángulo, como nos pedía el enunciado:

seno 59° 02' 29'' = 0,857  (eso se hace con cualquier la calculadora científica)

tangente 59° 02' 29'' = 1,667

(eso lo sabíamos sin calcularlo, porque de ahí sacamos el ángulo)

sec 59° 02' 29'' = 1/cos 59° 02' 29'' = 1/0,514 = 1,945

(como la función secante (sec) no está en las calculadoras, tenemos que usar la relación entre la función secante y la función coseno (que sí está en la calculadora):

secante = 1/coseno

28-02-11 Pregunta de Fernando          (TEOREMA DE PITÁGORAS)

hola como estan... me gustaria volver a consultarles algo referido a tema ecuaciones e inecuaciones... se me plantea el siguiente problema el cual no se como resolverlo.. necesito ayuda para razonarlo... espero su respuesta... gracias

PROBLEMA: Un poste de luz de 7 m. se rompe y al doblarse, la punta de la seccion rota toca el suelo a 3 m. de la base del poste ¿A que altura se rompió? (utilizar el teorema de pitágoras)

gracias nuevamente por su ayuda la cual espero con ansias.. un abrazo.. atte Fernando

Hola Fernando. La situación se puede representar con un triángulo rectángulo:



Allí, X e Y son las dos partes en que el poste se partió. Y como todo el poste medía 7m, entre esas dos partes tenemos un total de 7m. Así que:

X + Y = 7

Y luego, el Teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo:

A² = B² + C²

Siendo A la hipotenusa, y B y C los catetos del triángulo rectángulo.

En el dibujo puedes ver que la hipotenusa es "Y" (el lado mayor, el que está enfrente al ángulo de 90°). Y los catetos son: X, y el otro mide 3m. Así que, según el Teorema de Pitágoras:

Y² = X² + 3² 

ó

Y² = X² + 9

Así obtuvimos dos ecuaciones, con dos incógnitas. Podemos plantear un sistema y resolverlo:

X + Y = 7
Y² = X² + 9

Uso el método de Sustitución:

X + Y = 7

Y = 7 - X


Y² = X² + 9

(7 - X)² = X² + 9

49 - 14X + X² = X² + 9

49 - 14X = 9

-14X = 9 - 49

-14X = -40

X = -40/-14

X = 20/7


Y = 7 - X

Y = 7 - 20/7

Y = 29/7

Como son medidas de longitud, es preferible expresarlas en números decimales en vez de fracciones. Así que:

X = 2,86

Y = 4,14

Pero la pregunta era: "¿A qué altura se rompió?". Y puedes observar en el dibujo que el punto donde se rompe (o dobla) el poste es el vértice que une a los lados X e Y. La altura a la que está ese punto es la distancia entre el suelo y ese punto, así que esa altura es igual a la medida del segmento X. Entonces, la altura a la que se rompió el poste es:

2,86 m

15-12-10 Pregunta de lizbeth:

HOLA ME PODRIAS ACLARAR COMO SE SACA LOS ANGULOS DE UN TRIANGULO RECTANGULO SI PUEDES CON EJEMPLOS XFA TE LO AGRADECERIA MUCHO QUE ME ACLARARAS ESO

Hola lizbeth. Para hallar los ángulos agudos de un triángulo rectángulo conociendo los lados, hay que usar las funciones trigonométricas.

Por ejemplo en el siguiente triángulo, en el cual se conocen las medidas de los lados A y B (15cm y 12 cm), voy a empezar calculando el ángulo b (se puede empezar por cualquiera). Lo marco en el dibujo:



El lado A es la hipotenusa, que siempre es el lado que está enfrente (opuesto) al ángulo recto (y además es el lado más largo de los tres). Y para el ángulo b, el lado B es el cateto opuesto, ya que ese lado lo tiene "en frente". Como tengo como datos los lados A y B, esos son lo que voy a poder usar para encontrar la incógnita que quiero (el ángulo b), así que uso la función trigonométrica que involucre a esos dos lados. Es:

seno = cateto opuesto/hipotenusa 

Así que la planteo para el ángulo b:

seno b = B/A

seno b = 12/15

seno b = 0,8

¿Cómo despejo b aquí?: b es un ángulo. Y lo que dice ahí es que el resultado de calcular el seno de ese ángulo es 0,8. Entonces, lo que tendría que hacer es lo contrario de calcular el seno: Es una función inversa, la inversa del seno, que se llama arcoseno, y que en la calculadora figura como sen^-1, arriba de la tecla "sen" en general. Es decir que, para calcular el ángulo cuyo seno dá 0,8, tengo que calcular el arcoseno de 0,8. Algunos lo piensan así: "el seno pasa al otro miembro como sen^-1". Así como "lo que está sumando pasa restando", "lo que está multiplicando pasa diviendo", etc. En las ecuaciones, se suele pensar que las cosas se pasan al otro lado con la "operación opuesta". Bueno, en una ecuación así, la operación opuesta del seno sería el arcoseno o sen^-1.

b = arcoseno 0,8       (En la calculadora: sen^-1 0,8)

b = 53,13010235...

Pero como es un ángulo, lo tenemos que pasar al sistema sexagesimal (el de "grado, minutos y segundos"), lo que se hace con la calculadora, frecuentemente presionando primero "shift" y luego la tecla de "grados, minutos y segundos" (° ' '').

b = 53 ° 7' 48'' 

Así encontramos el ángulo al cual si se le calculara el seno daría 0,8. Lo podemos comprobar con la calculadora:

sen (53° 7' 48'') = 0,79999... (0,8 aprox.)


Ahora para calcular el otro ángulo agudo (c), puedo seguir dos caminos. Puedo usar también una trigonométrica, o puedo usar la suma de los ángulos interiores de un triángulo, pues ya conozco dos ángulos del triángulo: a = 90°, b = 53° 7´48'').

En general, en este tema nos piden que lo hagamos con la trigonométrica, para no usar cosas que hayamos calculado nosotros (el ángulo b), sino que usemos solamente los datos que nos dieron. De esa manera se evita "arrastrar errores". Pues si cometimos un error al calcular el ángulo b, usaremos un valor equivocado y entonces también calcularemos mal el ángulo c. De todos modos lo voy a mostrar de las dos formas:

1) Usando una trigonométrica:

Ahora vuelvo al triángulo y marco el ángulo c:



Para ese ángulo, el lado B es el cateto adyacente. Porque no está enfrente del ángulo, sino que es uno de los lados que forma el ángulo. Y la hipotenusa siempre es la misma por supuesto. Así que la trigonométrica que tengo que usar es la que involucra al cateto adyacente y a la hipotenusa:

coseno c = cateto opuesto/hipotenusa

coseno c = B/A

coseno c = 12/15

coseno c = 0,8             (Sí, dá igual, pero no salten. La función es distinta)

c = arcoseno 0,8          (En la calculadora: cos-1)

c = 36,86989765...

c = 26° 52' 12''             (11,6' los redondeé a 12')


2) Usando la suma de ángulos interiores de un triángulo:

a + b + c = 180°

90° + 53° 7' 48'' + c = 180°

c = 180° - 90° - 53° 7' 48''

c = 36° 52' 12''

O también lo podemos hacer sabiendo que, como el triángulo es rectángulo, ya tiene un ángulo de 90°, entonces entre los otros dos tienen que sumar 90° (porque 90° + 90° = 180°). Es decir: los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son "complementarios". Entonces se calcula con una cuenta más sencilla:

b + c = 90°

53° 7' 48'' + c = 90°

c = 90° - 53° 7' 48''

c = 36° 52' 12''

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