TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

09-04-11 Pregunta de jessi

en un triangulo rectangulo , la hiponusa mide 3a y un de los catetos 2a raiz de 2 calcular la tang del angulo opuesto al menor cateto y el seno del angulo opuesto al mayor cateto.

Hola jessi. Primero "calculemos" el otro cateto, para compararlo con el que mide 2aV2 y ver así cuál es el mayor y cuál el menor. Con el teorema de Pitágoras podemos encontrar el cateto que falta:

Hipotenusa² = cateto² + cateto² 

(3a)² = (2aV2)² + x² 

9a² = 4a².2 + x² 

9a² = 8a² + x² 

9a² - 8a² = x² 

a² = x² 

Va² = x

a = x

El otro cateto mide: "a"

Con tranquilidad podemos decir que es el cateto menor, porque el otro mide 2aV2. Y cualquier número que sea "a", si se lo multiplica por 2V2 (2,83 aprox., un número mayor que 1) dará un número mayor que "a".

Ahora sabiendo cuál cateto es menor voy a dibujar el triángulo, para ver cuáles son los ángulos que me piden:



Al ángulo opuesto al cateto menor lo llamé "S", y al ángulo opuesto al cateto mayor lo llamé "T". Y lo que me pedían era:

"La tangente del ángulo opuesto al cateto menor":

tangente (de un ángulo) = cateto opuesto (a ese ángulo)/cateto adyacente (a ese ángulo)

tangente (S) = a/(2aV2) = a/(2aV2) = 1/2V2 = (1/2V2).(V2/V2) = V2/(2.2) 

tangente (S) = V2 / 4

(Lo racionalicé, porque quedaba una raíz irracional en el denominador. Espero que sepas hacer eso o entiendas lo que hice)

"El seno del ángulo opuesto al cateto mayor":

seno (de un ángulo) = cateto opuesto (a ese ángulo)/hipotenusa

seno T = (2aV2)/3a = (2aV2)/3a = (2V2)/3 = (2/3)V2

28-02-11 Pregunta de jessi

la hipotenusa de un triangulo rectangulo mide 10 m ,uno de los es angulos es la mitad del otro angulo. cuanto mide el cateto menor?

Hola jessi. El problema dice: "uno de los ángulos es la mitad del otro ángulo", como si el triángulo sólo tuviera dos ángulos (¿tiene 3, no?). Si dijera "uno de los ángulos agudos es la mitad del otro ángulo agudo" estaría mejor, pues sabríamos que ninguno de los dos es el ángulo recto (ya que si es recto no es agudo). 

De todas maneras, el problema se refiere a los dos ángulos agudos; pues si uno de ellos fuera el ángulo recto, no habría un "cateto menor": los dos catetos serían iguales. Y esto es porque, si uno de los ángulos que menciona el problema fuera el de 90°, el otro que menciona tendría que medir la mitad: 45°. Pero entonces también el tercer ángulo mediría 45° (ya que 90 + 45 + 45 = 180), y entonces los dos catetos serían iguales (a igual ángulo, igual lado), por lo tanto no habría un cateto menor que otro.

Si no entendiste todo lo anterior no importa, es solamente una aclaración y quizás requiere que se lea con detenimiento, dibujar y pensar. Aunque es una duda que debería plantearse al que lee el problema, supongo que al tratar de resolverlo de alguna de las dos maneras posibles, se descubrirá que con una de ellas los dos catetos son iguales, y no hay uno menor.

Veamos un triángulo rectángulo con esos datos:



Como uno de los ángulos es la mitad de otro, a uno lo llamé "x", y al otro "x/2" ("la mitad de x, x dividido 2"):

Pero resulta que podemos calcular ambos ángulos desconocidos. Pues sabemos que los tres ángulos de un triángulo suman en total 180°, así que debe ser:

90° + x + x/2 = 180°

3/2 x = 180° - 90°

x = 90°:(3/2)

x = 60°

Y entonces:

x/2 = 60°/2 = 30°

Así que, los ángulos agudos miden 60° y 30°.

Pero conociendo un ángulo agudo y un lado (en un triángulo rectángulo), se puede calcular la medida de cualquiera de los otros dos lados: usando las funciones trigonométricas. Veamos el dibujo con los datos e incógnitas del problema:



El cateto menor es el que está enfrente ("opuesto") al ángulo menor (30°). Porque como dije antes, en los triángulos se cumple que "a lado menor, se opone ángulo menor". Es la incógnita del problema. La hipotenusa es el lado que está enfrente del ángulo de 90°, y el enunciado decía que mide 10m (es el dato del problema). Y ya conocemos sus ángulos agudos: 30° y 60°.

Y recordemos que, para A un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, se definen las funciones trigonométricas:

seno A = cateto opuesto/hipotenusa
coseno A = cateto adyacente/hipotenusa
tangente A = cateto opuesto/cateto adyacente

Yo elijo trabajar con el ángulo de 60° (se puede con cualquiera de los dos), y para el ángulo de 60° resulta que el cateto menor de triángulo es su cateto adyacente. Así que de esas tres, la función trigonométrica que me va a servir es coseno, ya que tiene la incógnita (cateto adyacente) y el dato (hipotenusa). Llamo "c" al cateto adyacente:

coseno 60° = c/10

0,5 = c/10

0,5.10 = c

5 = c

Así la respuesta es: El cateto menor mide 5 m.