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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

05-03-11 Pregunta de nora

tengo un problema que no puedo resolver es de trigonometria 
es asi 
resolver el triangulo abc sabiendo que 
ac=20 cm, a=42ºy c=61º 
podras ayudarme

Hola nora. Se trata de un triángulo oblicuángulo Porque si fuera un triángulo rectángulo, esos dos ángulos deberían sumar 90°, ya que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90° (que sumados a los 90° del ángulo recto, dan en total 180° que es la suma de los ángulos interiores de un triángulo). Pero 42° + 61° = 103°. 

Para resolver triángulos oblicuángulos se usan el Teorema del seno y el Teorema del coseno, que se pueden aplicar uno y/u otro según los datos del problema. Resolver un triángulo es hallar todos los elementos que no son dato. Así que aquí tenemos que hallar dos lados (bc y ab), y un ángulo (b). El siguiente es un dibujo de un triángulo que representa la situación planteada en el problema:

triangulo oblicuangulo

Datos ac = 20 cm
         a = 42°
         c = 61°

Incógnitas: b =
                ab =
                bc =

El Teorema del seno, con los datos de ese triángulo, dice lo siguiente:

ac/senb = bc/sena = ab/senc

Es decir: los cocientes (fracciones) entre los lados y el ángulo que tienen enfrente, forman una proporción. Fijate que el lado ac tiene enfrente al ángulo b, y así con los tres lados.

Pero antes de ver si puedo usar ese Teorema, voy a calcular el ángulo b. Pues conociendo 2 ángulos de un triángulo, se puede averiguar la medida del tercero, ya que entre los 3 debe dar 180°:

a + b + c = 180°
42° + b + 61° = 180°
b = 180° - 42° - 61°
b = 77°

Y ahora, gracias a ese ángulo que calculé, puedo usar el Teorema del seno. Porque conozco ac y b, que "están en la misma fracción" (la primera del teorema). Si tengo los datos de una fracción, y uno de alguna otra (una cosa implica la otra, ya que siempre son 3 datos), tengo lo suficiente para usar el teorema (es decir, voy a poder plantear una proporción donde quede una sola incógnita y los demás sean datos). Por ejemplo, puedo tomar las dos primeras fracciones:

ac/senb = bc/sena

Eso me va a servir para calcular bc, porque conozco todo lo demás: ac, b y a. No hace falta que te des cuenta a priori de eso, simplemente puedes probar en cualquier par de fracciones, reemplazando con los datos, y ver si te queda una sola incógnita. Donde te quede más de una incógnita, no va a poder llegar a nada. Y si de ninguna manera logras eso, es porque tienes que usar el otro teorema: el Teorema del coseno.

20/sen77° = bc/sen42°

20/0,974 = bc/0,669

bc.0,974 = 20.0,669

bc = 13,38:0,974

bc = 13,7

Y para calcular ab, tomo esta otra proporción:

ac/senb = ab/senc

20/sen77° = ab/sen61°

20/0,974 = ab/0,875

ab.0,974 = 20.0,875

ab = 17,5:0,974

ab = 17,97

Así que el triángulo está resuelto:

b = 77°
bc = 13,7
ab = 17,97






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