TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11

EJEMPLO 11: (Uno que tenga "todo")


1/4 b⁶ + x⁴a²  -  x²ab³ =  (1/2 b³ - x²a)²

1/2 b³   -x²a

                   2. 1/2 b³.(-x²a)
                       -x²ab³

Desordenado, con varias letras, con término negativo, con fracciones, con potencias distintas de dos... Un ejemplo con casi todas las complicaciones que puede haber.

EXPLICACIÓN:

Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el  EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez.


1) Los cuadrados son 1/4 b⁶ y x⁴a² (¿qué es un "cuadrado"?). Porque:

1/4 b⁶ "es cuadrado" de 1/2 b³, ya que (1/2 b³)² es igual a 1/4 b⁶  
(Potencia de un producto y Potencia de potencia)

Y x⁴a² "es el cuadrado" de -x²a, ya que (-x²a)² es igual a x⁴a². Tengo que tomar esta base como negativa, para que el doble producto dé negativo, sino dará positivo.

Por otro lado, el término "-x²ab³" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que es negativo. (los que no son cuadrado seguro)


2) Las bases son entonces 1/2 b³ y -x²a


3) Una vez que decidí cuáles son las bases, multiplico para calcular el "doble producto" de las bases (¿doble producto?):

2. 1/2 b³.(-x²a)     ("Dos por 1/2 b³ por (-x²a)")

El resultado es -x²ab³. "Dió bien", ya que -x²ab³ está en el polinomio que quiero factorizar: 1/4 b⁶ + x⁴a² - x²ab³

Verifiqué así que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.


4) El resultado de la factorización es entonces: (1/2 b³ + (-x²a))², lo que es igual a:

(1/2 b³ - x²a)² 

Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


Verificación de la factorización:

Comprobemos ahora si es verdad que (1/2 b³ - x²a)² es igual a 1/4 b⁶ + x⁴a² - x²ab³:

- Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio: (Cuadrado de un binomio)

(1/2 b³ - x²a)² = (1/2 b³)² + 2. 1/2 b³.(-x²a) + (-x²a)² = 1/4 b⁶ - x²ab³ + x⁴a², y eso es igual a  1/4 b⁶ + x⁴a² - x²ab³ cambiado de orden.

- O usando el concepto de potencia y la Propiedad Distributiva:

(1/2 b³ - x²a)² = (1/2 b³ - x²a). (1/2 b³ - x²a) = 1/4 b⁶ - 1/2 b³x²a - 1/2 b³x²a + x⁴a² =
1/4 b⁶ - x²ab³ + x⁴a², y eso es igual a 1/4 b⁶ + x⁴a² - x²ab³ cambiado de orden.

(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 11:


0,04x² + 25/9 y⁴ - 1/15 xy² = (1/5 x - 5/3 y²)² = (0,2 x - 5/3 y²)²

1/25 x²  + 25/9 y⁴ - 1/15 xy² = (Primero pasé el decimal a fracción)

1/5 x       -5/3 y²
                          2.(1/5 x).(-5/3 y²)


-ab²     +   1  +  0,25 a²b⁴ = (1 - 0,5ab²)²

                1       -0,5ab²
2.(-0,5a.b²).1
-ab²


9/49 x⁸y² + b⁶  -  6/7 x⁴yb³ = (3/7 x⁴y - b³)²

3/7 x4y     -b3
                            2.(3/7 x⁴y).(-b³)
                          -6/7 x⁴yb³




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 6 (Con un número multiplicando a la x²)
EJEMPLO 7 (Con potencias diferentes a 2)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9 (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos cuadrados)

AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz exacta")
EJEMPLO 13 ("Con los cuadrados negativos")