EJEMPLO 4: (Con un término negativo)


x²   -  10x   +   25 = (x - 5)²

x                   (-5)
      2.(-5).x 
        -10x

Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)² también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto dá bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))² , que es igual a (x - 5)².


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4




EJEMPLO 5: (Desordenado)


 x     +     x²   +    1/4 = (x + 1/2)²

              x          1/2
 2.x.1/2
    x

No siempre están los dos cuadrados en los extremos. Las bases son "x" y "1/2", y el doble producto está en el primer término.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5




EJEMPLO 6: (Con un número multiplicando a la x²)


9x²  +  30x  +  25 = (3x + 5)²

3x                  5
       2.5.3x
          30x

Las bases son 3x y 5, ya que (3x)² dá 9x². En este caso hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6




EJEMPLO 7: (Con potencias diferentes a "2")


x⁶  +  10x³  +  25 = (x³ + 5)²

x³                  5
       2.x³.5
        10x³

Bajo x³, ya que x⁶ es igual a (x³)²; es decir que es un "cuadrado", el cuadrado de x³. Las otras potencias pares (4, 6, 8, etc.) también son "cuadrados", ya que x⁴, por ejemplo, es igual a (x²)²; x⁶ es igual a (x³)², por una propiedad de las potencias (potencia de potencia).


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7




EJEMPLO 8: (Con varias letras diferentes)


4x²  +  4xa³  +  a⁶ = (2x + a³)²

2x                  a³
        2.2x.a³
          4xa³

En los dos términos que son "cuadrados" puede haber letras. Las dos deben ser "cuadrados", por supuesto. El término del medio también tendrá las 2 letras.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8




EJEMPLO 9: (Con números decimales)


0,09a⁶  +  1  -  0,6a³ = (0,3a³ - 1)²

0,3a³    (-1)
                    2.0,3a³.1
                     0,6a³

A los números decimales puedo pasarlos a fracción. O sino, sacarle la raíz cuadrada para saber de qué número son cuadrado. 0,09 es cuadrado de 0,3.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9




EJEMPLO 10: (La misma letra en los dos cuadrados)


25x⁶  +  10 x⁵   +    x⁴ = (5x³ + x²)²

5x³                       x²
         2.5x³.x²
           10x⁵

En un caso como éste, queda una multiplicación de potencias de igual base (x³.x²), y por lo tanto, hay que sumar los exponentes.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10




EJEMPLO 11: (Uno que tenga "todo")


1/4 b⁶  +  x⁴a²   -   x²ab³ =  (1/2 b³ - x²a)²

1/2 b³     -x²a

                    2. 1/2 b³.(-x²a)
                          -x²ab³

Desordenado, con varias letras, con término negativo, con fracciones, con potencias distintas de dos... Un ejemplo con casi todas las complicaciones que puede haber.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11




AVANZADOS: (Raramente se ve en el Nivel medio)

EJEMPLO 12: (Con números que no tienen raíz cuadrada "exacta")

x²  +  2 x  +  3 = (x + )²

x                    
        2.x.
        2 x

El 3 no es cuadrado de ningún número entero. Pero... es cuadrado de . Porque que ()² es igual a 3. Entonces el caso se puede aplicar dejando "expresados" los radicales.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 12




EJEMPLO 13: (Con los cuadrados "negativos")

-x²  +  6x  - 9 = - (x²   -   6x   +   9) = - (x - 3)²

                            x               (-3)
                                   2.x.(-3)
                                     -6x

Éste sería ya un "ejercicio combinado", porque primero hay que "sacar factor común" para que los "cuadrados" queden positivos. O sea que estaríamos aplicando dos casos de factoreo. El factor común que hay que sacar es -1. Aunque también podemos pensar simplemente así: "Le ponemos un menos adelante y cambiamos todos los signos de los términos".


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 13

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE EL TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

¿Por qué se llama así el caso?

"Trinomio" significa "polinomio de tres términos". Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 términos los que factorizamos con este Caso.
Y "cuadrado perfecto" es porque se trata del "cuadrado de algo". O sea, que "algo" elevado al cuadrado (a la potencia "2"), dió como resultado ese "trinomio" que tenemos que factorizar. (¿qué es un "cuadrado"?)
Más precisamente, son el resultado de elevar al cuadrado a "binomios" (polinomios de dos términos). Como (x + 5) por ejemplo.


¿Por qué se factoriza de esa manera?

Como en toda factorización, estamos buscando una expresión que sea equivalente al polinomio que nos dan, pero que sea una multiplicación (producto). Resulta que cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio. Ya que un binomio al cuadrado se resuelve con la fórmula (¿qué es un "binomio"?):

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

"El cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado". (¿doble producto?)

Por ejemplo:

(x + 5)² = x² + 2.x.5 + 5² = x² + 10x + 25

Como se ve, el resultado tiene 3 términos. Elevamos un polinomio de 2 términos, y obtenemos uno de 3.
Ahora, si tenemos un polinomio de 3 términos, podemos pensar al revés: "Este polinomio, ¿se podrá obtener elevando al cuadrado a algún binomio (polinomio de dos términos)?".
Eso es lo que hacemos cuando aplicamos este Caso: analizamos el "trinomio" que nos están dando, para comprobar si puede ser el resultado de haber elevado a algún "binomio". En nuestro ejemplo, el trinomio x² + 10x + 25 vino de elevar al cuadrado a (x + 5), y por eso el resultado de la factorización sería (x + 5)².
Ahora, si no sabemos "de dónde vino" ¿cómo lo averiguamos? Bueno, para eso "analizamos" el trinomio. Miremos en la fórmula:

 a² + 2.a.b + b²

¿Cómo son los términos de un trinomio que es cuadrado de algo? Y... hay dos términos que son cuadrados: a² y b². Y el que está en el medio es siempre "2 multiplicado por las dos bases" (los que están al cuadrado, es decir "a" y "b"), o sea: 2.a.b (" el doble producto de a y b"). Entonces, para ver si un trinomio es cuadrado perfecto, tengo que buscar que todo eso se cumpla: Que haya dos términos que sean "cuadrados", y luego un término que sea igual a multiplicar por 2 a las bases de esos cuadrados.
(¿qué son las "bases"?) (¿qué es "doble producto"?)

Por ejemplo, en:

x² + 10x + 25

Los términos "cuadrados" son x² y 25. Las "bases" son x y 5. Y el término 10x debe ser igual entonces a 2.x.5 (el doble producto de las bases). Como 2.x.5 es igual a 10x, se cumple lo que estamos buscando.
Entonces, este trinomio cumple con todo lo que tiene que cumplir para ser el cuadrado de algo. Es el cuadrado de un binomio. Y ese binomio es (x + 5), la suma de las "bases". Por eso decimos que ese trinomio es igual a (x + 5)².

De esta forma, transformamos un polinomio de 3 términos en un "producto", ya que (x + 5)² es un producto. Es el producto de multiplicar (x + 5).(x + 5). Es decir, que "factorizamos" el polinomio (¿qué significa "factorizar"?)


¿Cómo puedo verificar si factoricé bien?

Como en cualquier caso de factoreo, "haciendo la multiplicación". Como el resultado de factorizar, siempre es una multiplicación, hago la multiplicación y tengo que obtener el polinomio original.
En este caso particular puedo hacerlo de dos maneras:

1) Aplicando la fórmula de cuadrado de un binomio ((a + b)² = a² + 2.a.b + b²) al resultado que nos dió:

(x + 5)² = x² + 2.x.5 + 5² = x² + 10x + 25

2) Multiplicando dos veces por sí mismo al binomio resultado (que es lo mismo que elevar al cuadrado):

(x + 5).(x + 5) = x² + 5x + 5x + 25 = x² + 10x + 25


¿Cómo me doy cuenta que podría aplicar este Caso a un polinomio?

Un poco ya lo dije en los puntos anteriores:

- El polinomio tiene que tener 3 términos.
- Dos de ellos tienen que ser "cuadrados", es decir, el cuadrado de algo. Si son números, tienen que ser números que tengan raíz cuadrada, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 1/4 , 9/25 , 0,04, etc. Si son letras, tienen que estar elevadas a potencias "pares", es decir, potencia 2, 4, 6, 8, etc (x², a⁴, x⁶, etc.)
- Los términos que están al cuadrado no pueden tener un signo menos delante. Por ejemplo, si el trinomio es: -x² - 4x + 4, puedo dar por descontado que no se puede aplicar el caso, porque -x² no es cuadrado de nada. Nunca el cuadrado de algo es negativo, cualquier cosa elevada al cuadrado dá positiva. Entonces, nunca un binomio elevado al cuadrado (a + b)² me va a dar un trinomio con algún cuadrado negativo (ya que a² y b² van a dar positivos). El único término que puede ser negativo es el "doble producto" (2.a.b).


¿Cuándo desisto de usar el Caso?

Cuando luego de identificar a las bases, pruebo el "doble producto", y no dá ni igual ni el opuesto del término que no es cuadrado en el trinomio. Porque no verifica la fórmula de un binomio al cuadrado.
Aclaremos que es cada cosa, con un ejemplo:

a² + 14a + 49 =

a               7
      2.a.7

En este ejemplo, los "cuadrados" son a² y 49. Las bases son "a" y "7". El doble producto es 2.a.7 ("multiplicar por 2 a la multiplicación entre las bases"). Y "el término que no es cuadrado en el trinomio" es 14a.  Desisto de usar el caso si 2.a.7 no diera 14a, ni -14a. Porque no verifica la fórmula de un binomio al cuadrado ((a + b)² = a² + 2.a.b + b²)


¿Qué son las "bases"?

En una potencia (como x², 2⁵, etc.), se le llama "base" al número o letra que está elevado, es decir "el número o letra que está debajo del otro". Por ejemplo:
En x² la base es la "x". La "x" está "debajo" del "2". La "x" está elevada a la "2".
En 2⁵, la base es el "2". El "2" está "debajo" del "5". El "2" está elevado a la "5".


¿Por qué se habla de "doble producto"?

"Producto" se le llama a la multiplicación. "Doble" es "multiplicado por dos". "Doble producto" es "una multiplicación, multiplicada por dos". En este tema, al calcular el Cuadrado de un Binomio, aparece un "doble producto":

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

El "doble producto" del que me hablan es "2.a.b". Es decir: "el doble de la multiplicación de a con b", que son las "bases", o "el primero" (la "a") y "el segundo" (la "b") en el binomio.


Los que "no son cuadrado" seguro:

En los siguientes ejemplos se puede ver cómo reconocer términos que no pueden ser uno de los cuadrados que buscamos:

-4x   Este término es negativo. Nunca el cuadrado de algo dá negativo. Cualquier cosa elevada a la potencia 2, dá positiva. Cuando aplico la fórmula (a + b)² = a² + 2.a.b + b² , nunca el resultado de a² o b² me va a dar negativo. Entonces, queda claro que -4x podría ser "el término del medio" (2.a.b), y no puede ser uno de los "cuadrados" que tengo que encontrar.


4x      Éste no es negativo, y el 4 es "cuadrado" (2² = 4). Podríamos confundirnos... Pero está esa "x". La "x" no es "cuadrado". Para que una letra sea "cuadrado", tiene que estar elevada a la potencia 2 (x²), a la potencia 4 (x⁴), a la potencia 6 (x⁶), o a cualquier otro número "par" (¿por qué?).


3x²     Éste tiene la x al cuadrado... Pero el 3 ¿es cuadrado de algún número? No, ningún número (entero o racional), elevado a la potencia 2, dá 3. (¿"entero o racional"?). Es lo mismo que decir "el 3 no tiene raíz cuadrada exacta". Si en la calculadora sacamos la raíz cuadrada de 3, veremos que dá un número con coma: 1,73205.... Ese número no nos sirve para usarlo como base en este tema de factoreo, tienen que usarse número enteros, fracciones o decimales exactos.


9x²b     Ojo con éste. 9 es cuadrado. x² también. Pero la b no es cuadrado de nada, por no ser potencia par. Este término entonces no puede ser uno de los cuadrados.


¿Podría ser que los tres términos sean "cuadrado" de algo?

Y... sí. Pero en ese caso, elegimos 2 de ellos, sacamos las bases, y verificamos el doble producto. Si no dá, probamos con otros dos y hacemos lo mismo. En cuanto el doble producto nos dé bien, es porque elegimos los cuadrados correctos. Por ejemplo:


x⁴ + 16x²y⁴ + 64y⁸ =

Los 3 pueden ser "cuadrados":

x⁴  es cuadrado de  x²
16x²y⁴ es cuadrado de 4xy²
64y⁸ es cuadrado de 8y⁴

Pero en la mayoría de los ejercicios, esto no va a pasar. Y en este ejemplo, también nos podríamos dar cuenta que 16x²y⁴ tiene las dos letras (x e y), y los otros términos no. Eso nos sugiere que 16x²y⁴ es el "doble producto", porque las dos letras de los otros términos están multiplicándose.
Aunque también hay otros ejemplos donde ni por eso nos podríamos dar cuenta:

a⁴x⁴ + a⁸x⁴ + 4a⁶x⁶ =

Pero, en general, este tipo de ejercicios nos lo pueden dar cuando ya vimos todos los Casos de Factoreo. Se trata de un ejercicio combinado, donde se pueden ir aplicando varios Casos. Y en este ejemplo en particular, se aplicaría primero el Caso "Factor Común", y luego el "Trinomio Cuadrado Perfecto".


¿A qué le llamamos un "cuadrado"?

Se le llama cuadrado a la potencia "2". Si algo está elevado a la 2, se dice que está elevado "al cuadrado". Por ejemplo, x² es "x al cuadrado".
También en este tema le llamamos "cuadrados" a los números, letras o términos que estén elevados a la 2, o que sean resultado de elevar a la 2 a algo. Decimos directamente que "x² es un cuadrado", "25 es un cuadrado", etc. Por ejemplo:

25 es un cuadrado, porque es resultado de 5² (o sea, resultado de elevar algo a la 2)

9 es un cuadrado, porque es resultado de 3²

1 es un cuadrado, porque es resultado de 1²

a² es un cuadrado, porque es resultado de elevar a la "a" a la potencia 2

x⁶ es un cuadrado, porque viene de elevar a x³ a la potencia 2, ya que (x³)² = x⁶
(potencia de potencia)

b⁴ es un cuadrado, porque viene de elevar a b² a la potencia 2, ya que (b²)² = b⁴
(potencia de potencia)


Para este tema, conviene recordar cuáles los son primeros números naturales que son cuadrados, para poderlos reconocer rápidamente:

1 es cuadrado de 1
4 es cuadrado de 2
9 es cuadrado de 3
16 es cuadrado de 4
25 es cuadrado de 5
36 es cuadrado de 6
49 es cuadrado de 7
64 es cuadrado de 8
81 es cuadrado de 9
100 es cuadrado de 10
121 es cuadrado de 11
144 es cuadrado de 12
169 es cuadrado de 13
196 es cuadrado de 14
225 es cuadrado de 15
256 es cuadrado de 16


En cuanto a las letras, tienen que ser "potencias pares" para ser cuadrados (¿por qué?). Entonces, son cuadrados:

x² es cuadrado de x
x⁴ es cuadrado de x²   (¿por qué?)
x⁶ es cuadrado de x³
x⁸ es cuadrado de x⁴
x¹⁰ es cuadrado de x⁵
etc.


¿Qué es el exponente?

Con un ejemplo se entiende mejor que definiendo:

En 2⁵, el exponente es el 5. Es decir que se le llama "exponente" a "ese númerito que está arriba" en las potencias, mientras que al número de abajo se lo llama "base". En una potencia, el exponente es quien indica cuántas veces hay que multiplicar por sí misma a la base. Es decir que 2⁵ significa 2.2.2.2.2


Potencia de Potencia

Decíamos por ejemplo, que " x⁶ es cuadrado de x³ ", y que era porque (x³)² es igual a x⁶. Esto es porque (x³)² se puede resolver usando una propiedad a la que le dicen "potencia de potencia", ya que se trata de calcular la potencia de algo que ya tiene exponente
(¿qué es "exponente"?). Esta propiedad dice que hay que "multiplicar los exponentes":

(x³)² = x⁶, porque multipliqué "3 por 2", que dá 6
(x⁷)² = x¹⁴, porque multipliqué "7 por 2", que dá 14

En general, la propiedad dice que:

(aⁿ)^m = a^n.m

Veamos con algunos ejemplos cómo esta propiedad se cumple, usando el concepto de lo que es "elevar a una cierta potencia":

(x³)² es igual a " x³ por x³ ", si usamos el concepto de potencia, ya que elevar a la 2 significa "multiplicar por sí mismo dos veces" (¿qué es una potencia?). O sea que:

(x³)² = x³.x³ = x^{3 +3} = x⁶  (Sumo los exponentes por la propiedad de las potencias de igual base)

(x⁵)³ = x⁵.x⁵.x⁵ = x^{5 + 5 + 5} = x¹⁵      (y 3 por 5 es 15)

(x²)⁴ = x².x².x².x² = x^{2 + 2 + 2 + 2}  = x⁸     (y 2 por 4 es 8)

Y si quieren entender aún más por qué, recuerden que "sumar varias veces lo mismo" es "multiplicar por el número de veces". Entonces, en (x⁵)³ = x⁵.x⁵.x⁵ , sumar 5 + 5 + 5 es lo mismo que multiplicar 5 por 3. Por esa razón, la propiedad dice que "se deben multiplicar los exponentes". En (x²)⁴ = x².x².x².x² tendríamos que sumar 4 veces al 2, así: 2 + 2 + 2 + 2. Y eso es lo mismo que multiplicar 2 por 4.


¿Qué es un "binomio"?

Se le llama "binomio" a un polinomio de 2 términos. Por ejemplo:

x + 4
x³ + x
a + b²
5 - a
etc.

Y un "binomio al cuadrado" es entonces "un polinomio de dos términos, elevado a la potencia 2". Por ejemplo:

(x + 5)²
(x² + 3)²
(1 - a)²
etc.

Y se puede resolver de varias maneras:

1) Aplicando la fórmula: (a + b)² = a² + 2.a.b + b², donde "a" es el primer término y "b" el segundo término (ejemplos de aplicación de esta fórmula). A la aplicación de esta fórmulas se le llama "Cuadrado de un binomio".


2) Multiplicando por sí mismo al binomio, basándonos en el concepto de potencia, es decir, en lo que significa elevar algo a la potencia 2: "multiplicar a algo dos veces por sí mismo". Ejemplo:

(x + 3)²  lo puedo resolver multiplicando (x + 3) por (x + 3)


Ejemplos de aplicación de la fórmula del "Cuadrado de un binomio":

Recordemos que la fórmula es: (a + b)² = a² + 2.a.b + b². Donde "a" es el primer término y "b" el segundo.

- Con dos términos positivos:

(x + 7)² = x² + 2.x.7 + 7² = x² + 14x + 49

- Con términos negativos:

(x - 3)² = x² + 2.x.(-3) + (-3)² = x² - 6x + 9          El "segundo" es (-3)

(-x + 5)² = (-x)² + 2.(-x).5 + 5² = x² - 10x + 25     El "primero" es (-x)

(-x - 1)² = (-x)² + 2.(-x).(-1) + (-1)² = x² + 2x + 1   El "primero" es (-x) y el "segundo" (-1)

- Con términos elevados:

(x⁵ + 2)² = (x⁵)² + 2.x⁵.2 + 2² = x¹⁰ + 4x⁵ + 4

(x - y²)² = x² + 2.x.(-y²) + (-y)² = x² - 2.x.y² + y²


¿No existe una fórmula específica para cuando se trata de una resta al cuadrado?

Sí. De la conocida fórmula (a + b)² = a² + 2.a.b + b², se puede deducir una fórmula para resolver (a - b)². La fórmula es:

(a - b)² = a² - 2.a.b + b²

Esta fórmula sirve solamente para "restas al cuadrado", lo que antes interpretábamos como: "el primer término es positivo y el segundo término es negativo".
Veamos cómo se aplicaría:

(x - 3)² = x² - 2.x.3 + 3² = x² - 6x + 9      El primero es x, y el segundo es 3

Cuando reemplazamos en esta fórmula, ya no tenemos que pensar al segundo término (b) como "-3", sino como 3. Porque el "menos" lo tomamos como que es el signo de la operación resta. Son dos maneras distintas de pensar lo mismo.
Esta fórmula es práctica para hacer "directamente" lo que antes hacíamos reemplazando con (-3). Porque nos ahorramos el reemplazar con términos negativos. Para comparar, veamos como lo hacíamos con la otra fórmula:

(x - 3)² = x² + 2.x.(-3) + (-3)² = x² - 6x + 9     El "segundo" es (-3)

Se puede ver que reemplazar con un número negativo "retrasa" la visión de lo que va a ser el resultado final. En cambio con la nueva fórmula, ya sabemos de antemano que el "doble producto" va a dar negativo, en cambio el tercer término va a dar positivo por ser un cuadrado.
De todas maneras, hay que tener en cuenta que esta fórmula no sirve para aplicarla en polinomios como (-x + 4), o (-x - 3), donde ya no se puede ver al binomio como un "resta" de términos sin signo.
Es completamente decisión nuestra aprender las dos fórmulas (que no es difícil, porque son muy parecidas), o hacer todo con la fórmula de la suma.
Por último, veamos las dos fórmulas juntas para compararlas:

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²
(a - b)² = a² - 2.a.b + b²


¿Y no podría deducir una fórmula específica también para (-a + b)² y para (-a - b)²?

Por supuesto que se puede, pero ¿quién quiere aprenderse 4 fórmulas, cuando puede hacerse todo con una sola?
Y además... darían las mismas dos fórmulas que ya conocemos... Pero habría que acordarse para cuál caso va cada una, lo cual no creo que sea práctico.
Anotemos de todos modos las 4 posibilidades. No porque las vayamos a usar para resolver cuadrados de binomios, sino para ver el fundamento de lo que plantea la siguiente pregunta. Estas son las 4 fórmulas posibles:

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²
(a - b)² = a² - 2.a.b + b²
(-a + b)² = a² - 2.a.b + b²
(-a - b)² = a² + 2.a.b + b²       (¿Cómo se deducen todas estas fórmulas?)

Y esto me lleva a a:


¿Es verdad que este caso de factoreo tiene 2 resultados posibles, aunque nos piden uno sólo?

Efectivamente. Si miramos las 4 fórmulas de arriba, veremos que los resultados son en realidad solamente dos:

a² + 2.a.b + b²  ;  que viene de (a + b)², pero también de (-a - b)²

a² - 2.a.b + b²   ; que viene de (a - b)², pero también de (-a + b)²

Entonces, si tengo un trinomio, viene de dos posibles cuadrados de binomios. Eso quiere decir, que si factorizo un trinomio, tiene dos resultados posibles. Ejemplos:

1) En general hacemos así:

x²  +  6x   +  9 = (x + 3)²
x      2.x.3    3
         6x

Pero también lo podríamos haber pensado así:

x²    +     6x   +     9 = (-x - 3)²
-x    2.(-x).(-3)    -3
         6x

Ya que elegiendo como bases a -x y a -3, también se verifica el doble producto (2.a.b)

Es decir que x² + 6x + 9 se puede factorizar como (x + 3)², o como (-x - 3)². Ya que si resuelvo tanto uno como otro cuadrado de binomio, el resultado es el trinomio que quería factorizar. En definitiva, tiene dos factorizaciones posibles usando este Caso (Trinomio cuadrado perfecto)

2)   En general hacemos así:

x²   -   6x   +   9  =  (x - 3)²
x    2.x.(-3)   (-3)
        -6x

Pero también lo podríamos haber pensado así:

x²   -    6x    +    9 = (-x + 3)²
(-x)    2.(-x).3    3
           -6x

Ya que elegiendo como bases a -x y a 3, también se verifica el doble producto (2.a.b). Es decir que x² - 6x + 9 tiene dos factorizaciones posibles usando este Caso. (otra explicación)


¿Cómo se deducen esas fórmulas de "Cuadrado de un binomio"?

Podemos aplicar el concepto de potencia y aplicar la distributiva.

(a + b)² = (a + b).(a + b) = a² + a.b + a.b + b² = a² + 2.a.b + b²
(a - b)² = (a - b).(a - b) = a² - a.b - a.b + b² = a² - 2.a.b + b²
(-a + b)² = (-a + b).(-a + b) = a² - a.b - a.b + b² = a² - 2.a.b + b²
(-a - b)² = (-a - b).(-a - b) = a² + a.b + a.b + b² = a² + 2.a.b + b²

 O también, aplicando la primera fórmula a los otros binomios, podemos deducir las otras tres. Pero no es objetivo de esta página presentar este tipo de demostraciones que van más allá de lo que suele ver en el Nivel Medio.


¿Por qué cuando digo que "3 no es cuadrado de ningún número", aclaro: "entero o racional"?

Porque me refiero sólo a número enteros o número racionales, que son los que usamos en este tema. Ya que 3 sí puede ser cuadrado, pero lo es de un número irracional: , porque
 ()² es igual a 3. (¿qué es un número entero?)


¿Qué es un número racional?

Como definición se suele decir que es todo número que puede escribirse como una fracción (con numerador y denominador "entero"). En el conjunto de los Racionales estarían incluidos entonces:

- Todos los números naturales y los enteros. Porque "poniéndoles un 1 abajo" (como denominador), los podemos escribir como fracción (3 = 3/1 ; -2 = -2/1 ; 0 = 0/1 ; etc.)

- Los decimales exactos y los decimales periódicos, porque se pueden "pasar a fracción" siguiendo ciertas reglas. (0,07 = 7/100 ; 0,44444... = 4/9 ; etc.)

- Y las fracciones, por supuesto (2/3 ; 5/2 ; etc.)

En cambio no son números racionales:

- Los decimales con infinitas cifras decimales no periódicas (no hay algo que se repite). Lo que incluye a las raíces que no dan resultado exacto: = 1,7325... ; = 2,2360679... ; y otros números conocidos, como PI = 3,1415926... y e= 2,71828... A todos estos se los llama números irracionales.

- Los números complejos: 2 + 3i ; -5i ; etc.

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