TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8

EJEMPLO 8: (Con varias letras diferentes)


4x²  +  4xa³  +  a⁶ = (2x + a³)²

2x               a³
       2.2x.a³
        4xa³

En los dos términos que son "cuadrados" puede haber letras. Las dos deben ser "cuadrados", por supuesto. El término del medio también tendrá las 2 letras.

EXPLICACIÓN:

Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el  EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez.

1) Los cuadrados son 4x² y el a⁶ (¿qué es un "cuadrado"?). Porque 4x² es cuadrado de 2x, ya que (2x)² es igual a 4x² (¿por qué?). Y a⁶ es el cuadrado de a³ (¿por qué?).

Por otro lado, el término "4xa³" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que están "x" y "a³", las cuales no son potencias pares. (¿tienen que ser pares?)
(los que no son cuadrado seguro)


2) Las bases son entonces 2x y a³


3) Una vez que decidí cuáles son las bases, multiplico para calcular el "doble producto" de las bases (¿doble producto?):

2.2x.a³     ("Dos por 2x por a³")

El resultado es "4xa³". Ya que 2.2x.a³ es igual a 2.2.x.a³, lo que es igual a 4xa³. (¿cómo se hacen estas multiplicaciones?)

2.2x.a³ = 4xa³

"Dió bien". Ya que 4xa³ está en el polinomio que quiero factorizar (4x² + 4xa³ + a⁶). Verifiqué así que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.


4) El resultado de la factorización es entonces:

(2x + a³)² 

Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


Verificación:

Comprobemos ahora si es verdad que (2x + a³)² es igual a 4x² + 4xa³ + a⁶:

- Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio:   (Cuadrado de un binomio)

(2x + a³)² = (2x)² +  2.2x.a³  +  (a³)² = 4x² + 4xa³ + a⁶ 

Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando en el resultado (2x + a³)², obtuve el polinomio original:  4x² + 4xa³ + a³

- O usando el concepto de potencia:

(2x + a³)² = (2x + a³).(2x + a³) = 4x² + 2xa³ + 2xa³ + a⁶ = 4x² + 4xa³ + a⁶

(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)


Una variación sobre este Ejemplo:

Las 2 letras diferentes pueden estar también en el mismo "cuadrado". Por ejemplo:

a²x⁴ + 2ax² + 16 =

Aquí tenemos que el primer "cuadrado" es a²x⁴, y en él hay 2 letras, que tienen que ser potencias pares ambas, de otro modo no serían "cuadrados" (¿por qué?). La solución es ésta:

a²x⁴  +  8ax²  +  16 =

ax²                     4
          2.ax².4
            8ax²


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 8:


x⁴   +   2x²y   +   y2 = (x² + y)²

x²                      y
         2.x².y
          2x²y


9b²  +  4a¹⁰  +  12ba⁵ = (3b + 2a⁵)²

3b       2a⁵
                    2.3b.2a⁵
                      12ba⁵


x⁴  +  10x²b³  +  25b⁶ = (x² + 5b³)²

x²                     5b³
       2.x².5b³
       10.x².b³


9a²x6  +  b²  +  6ax³b = (3ax³ + b)²
 
3ax³        b
                     2.3ax³b
                      6ax³b




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 6 (Con un número multiplicando a la x²)
EJEMPLO 7 (Con potencias diferentes a 2)
EJEMPLO 9  (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos cuadrados)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz exacta")
EJEMPLO 13 ("Con los cuadrados negativos")

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