EJEMPLO 5: (Desordenado)


x     +    x²   +   1/4 = (x + 1/2)²

           x        1/2
2.x.(1/2)
   x

No siempre están los dos cuadrados en los extremos. Las bases son "x" y "1/2", y el doble producto está en el primer término.

EXPLICACIÓN:

Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el  EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez. 

1) Los cuadrados son x² y el 1/4 (¿qué es un "cuadrado"?). Porque x² "es cuadrado" de x. Y 1/4 "es el cuadrado" de 1/2. (potencia de fracciones)

El término "x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que el exponente de "x" no es un número par. (x es x¹, y el 1 es un número impar)
(más explicación sobre esto)

Este ejemplo se distingue de los anteriores, porque "no viene en el mismo orden". Ya que los dos términos que son cuadrados no están en los extremos, y el que no es cuadrado no está en el medio.


2) Las bases son entonces x y 1/2


3) Una vez que decidí cuáles son las bases, multiplico para calcular el "doble producto" de las bases (¿doble producto?):

2. x. 1/2      ("Dos por x por 1/2")

El resultado es "x". Ya que 2. x. 1/2 es igual a 2.1/2.x, lo que es igual a 1.x, o sea x. (¿por qué?)

2. x. 1/2 = x

"Dió bien". El doble producto de las bases está en el polinomio que quiero factorizar (x + x² + 1/4). Verifiqué así que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.


4) El resultado de la factorización es entonces: (x + 1/2)². Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Cómo reconocer a los "cuadrados" y a los que no lo son?

Al estar desordenado el trinomio, cobra revelancia esto de saber reconocer cada término. Se recomienda la lectura de las siguientes secciones:
¿qué es un cuadrado? y Los que no son cuadrados seguro


Verificación:

Comprobemos ahora si es verdad que (x + 1/2)² es igual a x + x² + 1/4:

- Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio:   (Cuadrado de un binomio)

(x + 1/2)² = x² +  2. x. 1/2  +  (1/2)² = x² + x + 1/4 . Luego, si cambio el orden de los términos, me queda x + x² + 1/4.

Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando en el resultado (x + 1/2)², obtuve el polinomio original (x + x² + 1/4).

- O usando el concepto de potencia:

(x + 1/2)² = (x + 1/ 2).(x + 1/2) = x² + 1/2 x + 1/2 x + 1/4 = x² + x + 1/4 . Luego, si cambio el orden de los términos, me queda x + x² + 1/4.

(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 5:


-12x    +   x²   +  36 = (x - 6)²

               x      -6
 2.x.(-6)
-12x


8a   +   a²  +  16 = (a + 4)²

           a       4
2.a.4
8a


-2/3 x     +    x²    +   1/9 = (x - 1/3)²

                   x         -1/3
2.x.(-1/3 )
-2/3 x




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 6 (Con un número multiplicando a la x²)
EJEMPLO 7 (Con potencia par distinta de 2)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9  (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos cuadrados)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz exacta")
EJEMPLO 13 ("Con los cuadrados negativos")

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