TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 13

EJEMPLO 13: (Con los cuadrados "negativos")

-x²  +  6x  - 9 = - (x²   -   6x   +   9) = - (x - 3)²

                             x              (-3)
                                   2.x.(-3)
                                     -6x

Éste sería ya un "ejercicio combinado", porque primero hay que "sacar factor común" para que los "cuadrados" queden positivos, o sea que estaríamos aplicando dos casos de factoreo. El factor común que hay que sacar es -1. Aunque también podemos pensar simplemente así: "Le ponemos un menos adelante y cambiamos todos los signos de los términos".

EXPLICACIÓN:

Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el  EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez.


1) Antes que nada hay que "sacar el menos afuera". Es decir, poner un signo menos adelante de un paréntesis, y dentro de él poner los tres términos del polinomio pero con el signo opuesto al que traían. También se puede pensar así: "Saco como Factor Común al número -1", es decir, dividido todos los términos por -1. Al hacer esto, todos los términos quedan "con el signo cambiado". Si no hago esto, no se puede aplicar el caso Trinomio Cuadrado Perfecto. (¿por qué?) (¿cómo se saca factor común -1?)   (¿por qué -x² + 6x - 9 es igual a - (x² - 6x + 9)?)


2) Luego, el polinomio que tenemos que factorizar con el Tercer Caso es:

x²   -   6x   +   9

Éste, es un ejercicio muy simple, con un término negativo, que ya fue explicado en el EJEMPLO 4.

Los cuadrados son x² y 9. Las bases son x y (-3). El doble producto es 2.x.(-3), es decir que dá -6x. Entonces estamos ante un Trinomio Cuadrado Perfecto. La solución es: (x - 3)²


3) Pero como el polinomio original era igual a -(x² - 6x + 9), el resultado de la factorización completa es:

-(x - 3)²

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


Qué tiene de particular este ejemplo: -x²  +  6x  - 9

En este ejemplo, los términos que parecen cuadrados son negativos (-x² y -9). Así como está, no se aplicaría el Tercer Caso de Factoreo. Porque para este caso, tenemos que buscar términos que sean cuadrado de algo. Y -x² o -9 no son cuadrado de nada, ya que nunca se puede obtener un resultado negativo de elevar algo al cuadrado.
Recordemos que si a cualquier número, sea positivo o negativo, lo elevamos a la potencia 2, dá positivo. Porque estamos multiplicando dos veces por sí mismo a ese número. Y si el número es positivo estamos multiplicando "más por más", que dá "más" por supuesto, o sea positivo. Y si el número es negativo, estamos multiplicando "menos por menos", que dá "más" también. Entonces, no hay manera de elevar al cuadrado y que dé negativo.

Pero para que desaparezcan esos signos menos de adelante de los cuadrados, podemos dividir a todo el polinomio por -1, o que es lo mismo "sacar factor común -1", o "sacar el menos afuera". Y entonces, quedaría así: -(x² - 6x + 9). El polinomio que quedó ahora entre paréntesis, tiene los cuadrados positivos, y se le puede aplicar con facilidad el Caso. Pero no hay que olvidar luego de ponerle el signo menos delante al resultado de la factorización: -(x - 3)².


¿Cómo se saca factor común "-1"?

En uno de los ejemplos del Caso Factor Común (EJEMPLO 9), mostré cómo en realidad se puede sacar multiplicando a cualquier número que uno quiera , aunque no esté como factor en todos los términos. Se trata de seguir el mismo procedimiento que cuando sacamos factor común: Dividir todos los términos por ese número.

Para sacar factor común "-1", simplemente hay que dividir todos los términos por -1:

-x² dividido -1 dá como resultado x²  (ya que "menos por menos = más")

6x dividido -1 dá como resultado -6x

-9 dividido -1 dá como resultado 9

Dividir por -1, no hace más que cambiar el signo del término. Así obtenemos:

-1.(x² - 6x + 9); o lo que es lo mismo: -(x² - 6x + 9)


¿Por qué -x² + 6x - 9 es igual a -(x² - 6x + 9)?

Empecemos al revés. Voy a mostrar que -(x² - 6x + 9) es igual a -x² + 6x - 9, porque es más fácil hacerlo así:

Si queremos sacar el paréntesis en -(x² - 6x + 9), tenemos que aplicar la "regla para sacar paréntesis", ésa que enseñan en los primeros años. Dice algo así: "cuando sacamos un paréntesis precedido (o sea "que tiene adelante") de un signo menos, se ponen todos los términos con el signo contrario". Es decir, que a cada término hay que cambiarle el signo. Si un término es positivo, va a queda negativo. Y viceversa. Entonces:

Dentro del paréntesis, la x² es positiva, porque si no tiene nada adelante hay que considerar que tiene un signo "más". Cuando saco el paréntesis me queda -x², porque hay que cambiar el signo.

Dentro del paréntesis, tenemos - 6x. Cuando saco paréntesis me queda + 6x.

Dentro del paréntesis, tenemos + 9. Cuando saco el paréntesis, me queda - 9.

Es decir que, si saco el paréntesis, me queda -x² + 6x - 9.

Entonces, partiendo de -(x² - 6x + 9), y usando una regla válida, llego a -x² + 6x - 9. Lo que quiere decir que -(x² - 6x + 9) es igual a -x² + 6x - 9. Pero si una cosa es igual a otra, la otra es igual a una cosa. Quiero decir, si A = B entonces B = A (Propiedad Simétrica de la Igualdad). Por lo tanto, puedo expresar la igualdad al revés:

-x² + 6x - 9 es igual a -(x² - 6x + 9)


Verificación de la factorización:

Comprobemos ahora si es verdad que - (x - 3)² es igual a -x² + 6x - 9:


- Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio: (Cuadrado de un binomio)

- (x - 3)² = - (x² + 2.(-3)x + 9) = - (x² - 6x + 9) = -x² + 6x - 9

- O usando el concepto de potencia y la Propiedad Distributiva:

- (x - 3)² = - (x - 3).(x - 3) = - (x² - 3x - 3x + 9) = - (x² - 6x + 9) = -x² + 6x - 9

(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 6 (Con un número multiplicando a la x²)
EJEMPLO 7 (Con potencias diferentes a 2)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9 (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos cuadrados)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz exacta")