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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
/ EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6
EJEMPLO 6: (Con un número multiplicando a la x2)
9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2
3x
5
2.5.3x
30x
Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 dá 9x2. En este caso
hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término
sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un
cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).
EXPLICACIÓN:
Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos
relacionados, consultar en el EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez.
1) Los cuadrados son 9x2 y el 25 (¿qué es un "cuadrado"?).
Porque:
25 es el cuadrado de 5, y
9x2 "es cuadrado" de 3x, ya que (3x)2 es
igual a 9x2 (¿por qué?).
Podría
pensarlo de la siguiente manera: Por el 9, "bajo el 3". Y por la x2, "bajo la x".
En total "bajo 3x".
Por otro lado, el término "30x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que 30 no es
cuadrado de ningún número racional (no tiene raíz cuadrada "exacta") (¿por
qué digo "racional"?), y el exponente de "x" no
es un número par (x es x1, y el 1 es un número impar). (más
explicación sobre esto) (los
que no son cuadrado)
2) Las bases son entonces 3x y
5
3)
Una vez que decidí cuáles son las bases, multiplico para calcular el "doble
producto" de las bases (¿doble
producto?):
2.
3x.
5 ("Dos por
3x por
5")
El resultado es "30x". Ya que 2.3x.5 es igual a 2.3.5.x., lo que es igual a
30x. (¿por qué?)
2.3x.5 = 30x
"Dió bien". Ya que 30x está en el polinomio que quiero factorizar (9x2
+ 30x + 25).
Verifiqué así que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.
4) El resultado de la factorización es entonces:
(3x + 5)2
Es
decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
¿En qué se diferencia este ejemplo de los anteriores?
En este ejemplo, uno de los "cuadrados" es una multiplicación de
dos o más "cosas" (por ejemplo:
4x2, 25x2, a2b2, 16x2a2).
Mientras que en los anteriores ejemplos, los cuadrados eran simplemente una letra o un
número (por ejemplo:
x2, 9, 4, a2, 25, etc.).
Para reconocerlos, hay que fijarse en que cada una de las dos o tres cosas que
están multiplicándose (factores) sean "cuadrados". Por ejemplo:
4x2 puedo decir que es un "cuadrado", porque 4 es "cuadrado" (de 2) y x2 también, por supuesto.
25x2 es "cuadrado", porque 25 es un "cuadrado" (de 5), y x2 también , por supuesto.
a2b2 es un "cuadrado", porque
a2 es cuadrado, y b2 también.
En cambio:
2a2 no lo tomo como "cuadrado", porque el 2 no es un "cuadrado" (de un número racional)
(¿por qué está aclaración?)
16x no puede ser un "cuadrado", porque la x no está elevada al cuadrado (ni a
ninguna otra potencia par) (¿por qué tiene que ser una
potencia par?)
¿Por qué (3x)2 es igual a 9x2?
(3x)2 es igual a 3x.3x, por lo que significa elevar a una
potencia (¿qué
significa?). Y 3x.3x es igual a 9x2 (¿por
qué?).
También podríamos haberlo hecho usando la Propiedad Distributiva entre la
potencia y la multiplicación. Así: (3x)2 es igual a 32.x2, lo que es igual a 9x2.
¿Por qué para que una multiplicación sea cuadrado, los dos factores tienen que
ser cuadrados?
Recordemos la Propiedad Distributiva entre la multiplicación y la
potencia, que dice que:
(a.b)n = an.bn . Por
ejemplo:
(5.x)2 = 52. x2 = 25x2
(3.a2)2 = 32. (a2)2 = 9x4
(Potencia
de Potencia)
(4.b3)2 = 42 . (b3)2 =
16b6
Cuando elevamos al cuadrado una multiplicación, tenemos que elevar al
cuadrado a cada
factor. Entonces, los dos factores del resultado terminan siendo cuadrados
también.
Otra forma de verlo sería usando el concepto de potencia (¿cómo
es eso?):
(5.x)2 es igual a 5x.5x, lo que es igual a 5.5.x.x (¿por
qué?). Como estamos multiplicando al 5 dos veces por sí
mismo, lo estamos elevando al cuadrado. Lo mismo con la x. Entonces, estamos
obteniendo dos cuadrados en el resultado, que provienen que multiplicar a cada
factor por sí mismo.
Multiplicaciones
Decíamos que 5x.5x es igual a 5.5.x.x. Pero ¿y eso por qué?. Primero, 5x.5x
es lo mismo que 5.x.5.x, porque aunque no pongamos el signo "por" entre el
número y la letra, hay que recordar que ambos están multiplicándose. 5x
significa "5 veces x", es decir "5 multiplicado por x",
"5 por x", o "5.x" .
Luego, la multiplicación cumple con la Propiedad Conmutativa, ya que "si en una
multiplicación cambiamos el orden, el resultado es el mismo". Entonces, puedo
decir que 5.x.5.x es igual a 5.5.x.x. Cambié el orden, con permiso de la
Propiedad Conmutativa.
También decíamos que 3x.3x es igual a 9x2. Y la razón es la
misma: 3x.3x es lo mismo que 3.x.3.x, lo que es igual que 3.3.x.x (por la
Propiedad Conmutativa), y eso es igual a 9x2.
Verificación:
Comprobemos ahora si es verdad que (3x + 5)2 es igual a
9x2 + 30x + 25:
-
Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio: (Cuadrado de un
binomio)
(3x + 5)2 =
(3x)2 + 2.3x.5 + 52 = 9x2
+ 30x + 25
Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice,
porque, operando en el resultado (3x + 5)2, obtuve el polinomio
original 9x2
+ 30x + 25.
-
O usando el concepto de potencia:
(3x + 5)2 = (3x + 5).(3x + 5) = 9x2 + 15x + 15x + 25 = 9x2 +
30x + 25.
(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 6:
25x2 + 10x + 1 = (5x + 1)2
5x
1
2.5x.1
10x
16 + 4a2 + 16a = (4
+ 2a)2
4 2a
2.4.2a
16a
-42x + 49x2 + 9 = (7x
- 3)2
7x
-3
2.7x.(-3)
-42x
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 7 (Con potencia par distinta de 2)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9 (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos cuadrados)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")
AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz exacta")
EJEMPLO 13 ("Con los cuadrados negativos")
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